Compilación Matematica

Compilación Matemática
La Derivada








Simbología Matemática
Para poder entender las terminologías matemáticas primero tendrás que conocerlas a cada una, aquí les presento un listado de los símbolos básicos y si sus significados. Los cuales son muy utilizados para comunicar algún tipo de situación que se presenta en algún problema.

Conjunto de números reales.
Conjuntode números reales en el plano cartesiano bidimensional.

Conjunto de números reales en el plano cartesiano tridimensional.

Conjunto de números racionales.
Números irracionales.
Conjunto de números naturales.
Conjunto de números enteros.
Existe.
No existe.
Pertenece.
No pertenece.
Si… entonces (condicional).
Si y solo si(condicional).
Corchetes.
Llaves.
Paréntesis.
Es mayor que.
Es menor que.
Es mayor o igual que.
Es menor o igual que.
No mayor que.
No menor que.
Ni mayor que, ni igual que.
Ni menor que, ni igual que.
No es igual.
Intersección.
Unión.
Conectiva lógica “Y”.
Conectiva lógica “O”
Para todo.
Theta.Es perpendicular a.
Angulo.
Infinito.
/ Tal que.
// Es paralela a.
Conjunto vacío (“Fi” variante de )
3.1416 (“Pi”)
180º (“Pi”)

La Derivada
La derivada y el problema de la recta tangente.
El desarrollo del cálculo surgió de cuatro problemas que ocupaban a los matemáticos europeos en el siglo XVII.
1. La Tangente.
2. La Velocidad y laAceleración.
3. Máximo y Mínimo.
4. El Área.
El problema de la tangente.
¿Qué queremos decir cuando hablamos de que una recta es tangente a una curva en un punto?


Observe, que en las figuras 2, 3 y 4 se hace más difícil definir las tangentes de ellas.


Figura 5
El problema de hallar la recta tangente en un punto P se produce al de hallar su pendiente. Y esta puede aproximarse medianterectas que pasan por P y por otro punto Q de la curva (fig. 5), a las que llamaremos rectas secantes. Si es el punto P de tangente y es otro punto Q de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:
Pendiente de la secante.
La fórmula: se llama cociente incremental.
El denominador ∆x se llama incremento (o cambio) en x, y el numerador, incremento (ocambio) en y, denotando:
cambio en y.
Considérese la figura 6 y observe:

La recta tangente en A es la posición límite de la secante cuando el punto B se acerca a A, la recta rota alrededor del punto A en el sentido de las manecillas del reloj (, , ). La posición límite de es la recta .
Si se aproxima a A con una secante como recta , tambien se llega a la misma posicion limite. La sucesionde rectas secantes ,, tienden tambien a la recta cuando C se aproxima a A. Ya que es la posicion limite al acercarse por la derecha y por la izquierda, es la recta tangente a la curva en el punto A.
Definicion de la recta tangente con pendiente m.
Si f esta definida en un intervalo conteniendo c y existe el límite

Llamaremos a la recta que pasa por con pendiente m la recta tangente ala grafica de f en el punto .
Nota 1: a menudo hablaremos de la pendiente de la tangente a la grafica de f en como
la pendiente de la grafica de f en x=c.

Ejemplo 1: (pendiente de una funcion lineal). Halle la pendiente de en el punto (2,1).
Solución:











Ejemplo: (Rectas tangentes a una funcion nolineal). Halle la pendiente de la recta tangente a en los puntos (0,3) y (-2,7).
Solucion: En lugar de efectuar el proceso al limite dos veces, sea X un valor arbitrario. La pendiente de la recta tangente en es:

Luego la pendiente en (x,f(x)) es 2x .

1. Definicion de la derivada de una funcion.
La derivada de F en X viene dada por:
Supuesto que exista tal límite.
Ejemplos.
Sea . Hallar...