composicion de funciones

.Composición de funciones

Podemos construir funciones complicadas a partir de funciones simples, mediante el proceso de composición, donde el resultado de una función es el insumo de otra. Es a veces también necesario efectuar el proceso inverso, descomponiendo una función complicada en dos o más funciones más simples.
Para usar debidamente las técnicas aquí explicadas, es vital efectuarmuchos ejercicios de práctica, de modo que su uso sea casi instintivo.
Después de leer este texto, y/ó ver el video tutorial de este tema, debes ser capaz de:
· escribir las funciones compuestas gf y fg dadas dos funciones adecuadas f y g.
· escribir una función complicada como una composición gf.
· determinar si dos funciones f y g son adecuadas para composición.
· determinar eldominio y rango de una función compuesta gf dadas las funciones f y g.

Contenido
1. Introducción
2. Orden de composición
3. Descomposición de una función
4. Dominios y rangos de funciones compuestas

1. Introducción
La composición de dos funciones g y f es la nueva función que obtenemos efectuando f primero, y luego efectuando g. Porejemplo, si f es la función f(x) =  y g la función g(x)=x +3, entonces la composición de g con f se llama gf y se escribe
gf(x)= g(f(x)) .
O sea que escribimos primero lo que es f(x), y luego aplicamos g al total de f(x). En este caso, si aplicamos g a algo, le añadimos 3 a ese algo. Así que si aplicamos g a , añadimos 3 a . Y obtenemos
gf(x)= g(f(x))=g()=+ 3 .
Veamos otro ejemplo de composición de funciones. Sea esta vez f la función dada por
f(x) =2 x y sea g la función dada por g (x) =. Como antes, escribimos primero f (x), y luego aplicamos g al total de f (x). En este caso, f (x ) es 2 x. Aplicar la función g eleva e a la potencia f ( x ). Así que obtenemos
g f (x ) = g (f (x)) = g (2 x) =

Algunas veces lacomposición de dos funciones es llamada “ función de una función “,
y algunas veces g f se escribe g o f . No es necesario que uses esta ultima notación, pero es bueno saber qué significa, porque puedes verla utilizada en libros de texto.
Punto Clave
Una funcion compuesta gof es la función dada por
gf (x) =g ( f(x)).
Esto es a veces llamado “función de una función “. Una notaciónalternativa para g f es
g o f .

Ejercicios
1. Obtenga gf(x) para los siguientes pares de funciones:

( a ) f (x) = 3x, g (x) = 2 - 5, ( b ) f (x) = , g (x) = 
( c ) f (x) = sen (x), g x) = 1/x.

2. Orden de composición
El orden en que componemos las funciones causa una gran diferencia en el resultado. Puedes verlo si cambiamos el orden de las funciones en el primerejemplo. Tomamos f (x) = y g (x) = x + 3. Entonces fg(x) se obtiene tomando g(x), que es x +3, y aplicando f a ello, lo cual nos da
f g (x) = f ( x +3) = = + 6x + 9.
Puedes ver que esto no es lo mismo que gf (x), porque
gf (x) = + 3
Y esto en general no es igual a + 6x + 9 .

Punto Clave
En general gf (x) no es igual a fg (x).

Ejercicios
2. Obtengafg (x) para los siguientes pares de funciones, y compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 1:
( a ) f(x) =3x, g (x)= 2-5, ( b ) f(x) =, g(x) =
( c ) f(x) = sen x, g(x) = 1/x.

3. Descomposiciónde una función

Algunas veces podemos escribir una función dada como la composición de otras dos funciones. Esto se llama descomposición de la función. Por ejemplo, toma la función h(x)=. Ya hemos visto que esta función puede ser escrita como una funcion compuesta, donde
g x) =, f (x) =2x .
Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos la función
h(x)= .
Aquí vemos otra vez que...