Concurso de Matemáticas

Olimpiadas Internacionales

Olimpiadas Internacionales

Problemas Resueltos Nº 1

2006

Problema 1

Con lo que nos queda,

Solución
La suma de las cifras agrupadas de 3 en

ningún nueve, y una de ellas mínima,

3 debe ser múltiplo de 999. Para que sea

tienen que ser 111 + 888, pues 888 es el

el múltiplo más pequeño, la suma de las

máximo número de tres cifras que nocifras debe ser 999. Para conseguir una

incluye el 9. Por tanto, el número pedido

suma 999 con dos cifras que no incluyan

es: 111888 = 112*999

⎛ a3 3ab
⎞⎞
1 ⎛ ab
S= ⎜
⎜ c − 3 − ⎜ c − c + 3⎟ ⎟ =
⎟
2⎝
⎝
⎠⎠

4ab a3
−
−6
c
c
2

Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

Problema 3

Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

¿Para que dígitos x e yla siguiente ecuación: xxyy = xx 2 + yy

2

es válida?

Solución

Problema 2
lados

ecuación

2006

p2 q 2 r 2
( p 3 + q 3 + r 3 ) a3 − 3ab + 3c a3 3ab
+
+
=
=
=
−
+3
qr pr pq
pqr
c
c
c

Encontrar el menor número positivo divisible por 999 y que no tenga el dígito 9.

Los

Problemas Resueltos Nº 1

de

cúbica:

un
3

triángulo

son

2

x -ax+bx-c=0.

proporcionales

Encontrar

la

a

suma

las

raíces

de

la

cosenos

los

de

de

2

2

1100x + 11y = 121(x + y ) ⇒ 100x +
2

2

2

9x + 1 = x + y
2

2

2

y = 11(x + y )

9x + 1 = x + (11-x)

los ángulos del triángulo.

Para que 100x + y sea múltiplo de 11,

2x -31x+120 = 0

Solución

debe ser x + y = 11. Pero entonces
3

100x + y =x0y = 99x + 11 = 11(9x +

Sean p, q y r las raíces de la ecuación.

De otro lado, despejando x ,

Las relaciones de Cardano-Vieta nos dan:

sustituyendo por p, q y r y sumando,

p+q+r=a

3

3

3

2

2

1) con lo que queda

3

x1 = 8, x2=15/2.
Evidentemente solo nos vale el 8, y
2

2

tenemos que: 8833 = 88 + 33

2

p + q + r = a(p + q + r ) - b(p + q

pq + pr+ qr = b

2

Solución: Ignacio Larrosa Cañestro-La Coruña España

3

+ r) + 3c = a - 2ab - ab +3c = a - 3ab

pqr = c

Problema 4

Por otra parte, llamando P, Q y R a los

+ 3c

ángulos del triángulo,

Por otra parte,

2

2

A ver como nos va con esta:

3

2

3

3

3

3

2q

a = (p + q + r) = p + q + r + 3(p

cos(P) = (q + r - p )/(2qr)

2r

2p

2r2p

2q

ALPHA + BETA + GAMMA = OMEGA
Donde OMEGA es el mayor posible.

2

2

2

+p

cos(R) = (p + q - r )/(2pq)

2

2

2

p

Y la suma de los tres,

(a - 3ab + 3c) - 6c)/3 = ab - 3c

0,5

A

Dividiendo por c = pqr

Como A es la inicial de ALPHA, debe ser

soluciones, 4 con OMEGA = 76915 y 4

p p q q r r
ab
+ + + + + =
−3
r q r p q p
c

distinto de0, por lo que A = 5. Queda

con OMEGA = 80625. Son

cos(Q) = (p + r - q )/(2pr)

2

2

2

Tenemos que:
2

2

2

(p + q + r) = p + q + r + 2(pq + pr
2

2

2

2r

+p

+q

2p

+q

+r

+q

2r

+r

2p

+r

) + 6pqr
2q

+r

3

= (a -

3

S= 1 ( q + r + p + r + p + r − p + q + r )
p q q qr pr pq
2 r q r
2

2q

+q

Tenemos que 3A = A (mod10) ⇒ A =

2

Pág. 1

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lococrux@hotmail.com

ALPHA

BETA

GAMMA

52305

8945

15665

8905

15665

5LPH5 + BET5 + G5MM5 = OMEG5.
partir

de

aquí,

obtengo

ocho

76915

52345

De otro lado,

+ qr) ⇒ p + q + r = a - 2b
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EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD

Solución

OMEGA
76915

___________
ELCONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD

Pág. 2

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Problemas Resueltos Nº 1

2006

58305

2945

15665

76915

suman 24 y años 16. Observamos que

sumando 20, ya tenemos 1 y 9, en la

58345

2905

15665

76915

15+25=40

y...