condicionamiento de una matriz

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL

Vol. 21, No. 1, 2000

NUMERO DE CONDICION Y DETERMINANTE
DE UNA MATRIZ
Jorge Lemagne Pérez, Facultad de Matemática y Computación, Universidad de La Habana
RESUMEN
En la resolución computacional de sistemas de ecuaciones lineales Ax = b mediante métodos directos,
juega un papel fundamental el llamado número de condición de A:
-1

cond(A) = ||A|| ||A||
ya que este determina la precisión alcanzable en la solución calculada. Con frecuencia se piensa que si
la matriz A es mal acondicionada con respecto a la precisión utilizada, su determinante det(A) es
cercano a 0 y viceversa. En algunos casos la tradición ha identificado ambas situaciones, sin embargo,
aunque existe relación, no son equivalentes. En este trabajo se explica cómo influye eldeterminante en
el número de condición, y recíprocamente, y a continuación se detallan sendos contraejemplos que
refutan la falacia expresada anteriormente. Este problema tiene gran importancia dentro de la
Matemática aplicada, ya que generalmente los cálculos se realizan dentro de una aritmética de punto
flotante, con precisión finita, lo que puede en determinados casos, producir sorpresasdesagradables
en el resultado final.
ABSTRACT
In computational resolution of linear algebraic systems Ax = b by direct methods, the condition number
of A plays an important role:
-1
cond(A) = ||A|| ||A ||
since the attainable precision of the computer solution is determined by it. We might think that if A is ill
conditioned with respect to the used precision, its determinant det(A) is closeto 0, and conversely.
Sometimes tradition has considered both situations as equivalent; however this is not true, although
they are relationed. In this paper, the reciprocal influence between determinant and condition number is
explained and examples to disprove this statement are given.
MSC: 65FO5

1. PRELIMINARES
Sea un sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde A = (aij) es una matrizcuadrada de orden n, de
coeficientes reales e inversible y b ∈ Rn. Supongamos que este sistema se va a resolver mediante algún
método directo, por ejemplo, el algoritmo de eliminación de Gauss. Es conocido ([2], [5], y [6]) que la
precisión obtenible mediante tal método depende en gran medida del número de condición de A:
cond(A) = ||A|| ||A-1||

(1)

donde ||C|| indica alguna normamatricial de C. Además, sabemos que
1 ≤ cond(A) < ∞
El número de condición de A, según [1], puede interpretarse de la siguiente manera:

1
⎧|| A − B ||
⎫
= min ⎨
| B es no inversible ⎬
cond( A )
⎩ || A ||
⎭

(2)

es decir, que el recíproco del número de condición de A es igual a la distancia relativa de A a la matriz B no
inversible más cercana.
29

Aquí se ha hablado de cercanía auna matriz B no inversible, lo cual nos pudiera hacer pensar que existe
una relación directa entre det(A) (determinante de A) y cond(A); algunos autores hacen hincapié en esta
relación. Recordemos (mediante [3]) que:

A −1 =

1
Ar
det( A )

(3)

donde AT es la matriz adjunta de A, o sea A está formada por los cofactores de los elementos de A. Por lo
tanto, de (1) se tiene que

cond( A) =

1
|| A |||| A T
| det( A ) |

||

(4)

Por supuesto que det(A) influye inversamente en la magnitud de cond(A), pero hay que tomar en cuenta
también los otros 2 factores ||A|| y ||AT||, cuyas magnitudes dependen no solo de los elementos de A en sí,
sino también de las posiciones que ocupen; luego, el problema es en realidad más complejo.
2. DESARROLLO

Precisemos esto un pocomás: podríamos formularnos las 2 preguntas siguientes:
1) ¿Si |det(A)| es significativamente mayor que 0 entonces cond(A) tiene que ser pequeña?
2) ¿Si det(A) es pequeño entonces cond(A) tiene que ser grande?
Mediante ejemplos demostraremos que ambas preguntas se responden negativamente.
1) |det(A)| puede ser significativamente mayor que 0 y cond(A) ser grande.
Tomemos
⎡10 7 1 ⎤
A = ⎢ 14...