CONGRUENCIA

Criterios de congruencia como postulados

El criterio (principio) de congruencia más básico es posiblemente el denominado criterio LAL (lado-ángulo-lado) que nos dice que si, en una correspondenciade triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Algunos textos de geometría–los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Esrecomendable entonces que el aprendiz los tome los tres como postulados pues, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…



En la figura, los triángulos ABC y AB’C’ están encorrespondencia. El segundo es el resultado de haber girado 90 grados el primero. Si el segmento BC faltara, de cualquier manera la distancia entre A y B se mantendría después del giro.

Instancia de uso (clásica)del criterio LAL

Teorema del triángulo isósceles:

Si un triángulo es isósceles entonces sus ángulos en la base son iguales. (Nota: se acostumbra entender por base, el tercer lado –los dosprimeros son los que sabemos iguales.)

Demostración:

Advertencia: Esta instancia de uso es algo desconcertante cuando se ve por primera vez, así que se pide la cooperación cognitiva del lector. (Eldesconcierto se debe quizá a que el triángulo se pone en correspondencia consigo mismo, lo cual no está prohibido pero como que uno piensa que esa prohibición quedaba implícita en la definición decongruencia.)



El isósceles que se muestra puede llamarse triángulo ABC. Pero, recorriendo sus vértices en el sentido opuesto puede llamarse triángulo BAC. Es pues válida la correspondenciaABC-BAC.

Puesto que el triángulo es isósceles, CA=CB y BC=AC. También, como se trata del mismo triángulo, el ángulo formado en C es idéntico a sí mismo. Se tiene pues una correspondencia LAL y los...