Congruencias

Introducción
El propósito de este material es poner a disposición de los profesores del nivel medio superior una breve exposición del tema de CONGRUENCIAS y una selección de problemas de concurso a todos los niveles: Estatal, nacional (diversos países) y de Olimpiadas Internacionales.
Este tema de la teoría de los números no es parte de la currícula de Bachillerato en nuestro estado, sinembargo es tema de exámenes en concursos nacionales e internacionales, razón por la cual tenemos que incluirlo en los materiales para preparar a nuestros estudiantes para las Olimpiadas Estatales y Nacionales.
Ha sido una tradición proporcionar a los estudiantes que participan en nuestro estado en la Olimpiada de Matemáticas, una exposición de esta temática en los talleres de entrenamiento.
Creemosque este tipo de materiales, en manos de profesores entusiastas, contribuirá a una mejor preparación de nuestros representantes en las olimpiadas nacionales.
Eduardo Tellechea Armenta
Profesor del Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora.
Octubre de 1998.






C O N G R U E N C I A S

Con el fin de motivar el concepto de CONGRUENCIA, analizaremos los siguientes dosproblemas.

Problema 1. Se tiene un edificio de dos pisos con los cuartos numerados como en la figura
1 3 5 7 9 … . . . . . . . . .
Ad. 2 4 6 8 … . . . . . . . . .
¿En que piso localizamos el cuarto No. 98 ?
Solución: En la planta baja (Ad.), pues claramente observamos que en el primer piso están los cuartos con números impares y en la planta baja, los de númerospares.
Problema 2. Se tiene un edificio de cinco pisos con los cuartos numerados como en la figura.
4 9 14 19 24 … . . . . . . . . .
3 8 13 18 23 … . . . . . . . . .
2 7 12 17 22 … . . . . . . . . .
1 6 11 16 21 … . . . . . . . . .
Ad. 5 10 15 20 … . . . . . . . . .
¿En que piso localizamos el cuarto No. 98?Solución: En el problema anterior, por su sencillez, pudimos mentalmente dividir al conjunto de los enteros (positivos) en dos clases ajenas: pares e impares. En este segundo problema tenemos que dividirlos en 5 clases ajenas y ser capaces de ubicar a cualquier entero en alguna de ellas.
Si observamos detenidamente la figura, podemos ubicar a los cuartos de la siguiente manera:
No. de PisoCaracterística Forma
Primer piso: Múltiplos de 5 5k
Segundo piso: Los que exceden en una unidad a un múltiplo de 5 5k+1
Tercer piso: Los que exceden en dos unidades a un múltiplo de 55k+2
Cuarto piso: Los que exceden en tres unidades a un múltiplo de 5 5k+3
Quinto piso: Los que exceden en cuatro unidades a un múltiplo de 5 5k+4.

Después de este pequeño análisis, podemos decir que el cuarto No. 98 se encuentra en el cuarto piso,
puesto que 98 = 5(19) + 3.
Obsérvese que los del primer piso son aquellos que al dividirseentre 5 dejan residuo cero, los del segundo piso son aquellos que al dividirse entre 5 dejan residuo 1 y así sucesivamente.
Si consideramos el conjunto de los enteros, con este criterio podemos dividirlos en 5 clases:
C0 = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, …}
C1 = {…, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, …}
C2 = {…, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, …}
C3 = {…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, …}
C4= {…, -11, -6, -1,4, 9, 14, 119, …}.
La característica de la clase Cr es que al dividirse cualquiera de sus elementos entre cinco, deja residuo r.
Si dos enteros pertenecen a la misma clase, diremos que ellos son congruentes módulo 4.
En general tenemos la siguiente definición:
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DEFINICIÓN.- Decimos que los enteros a y b son CONGRUENTES MÓDULO m , m>0 si al...