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El concepto de semejanza en la vida cotidiana
En lenguaje cotidiano, cuando se habla de semejanza, casi siempre se hace referencia al concepto más general de parecido: color “parecido”, tamaño “parecido”, forma “parecida”, etcétera.
En los ejemplos, el significado de semejanza que hacemos notar hace referencia a una característica común entre objetos o personas: color, tamaño y forma, entreotros. 
El concepto de semejanza en matemática
En cambio, en matemática el concepto de semejanza está muy ligado al concepto de proporcionalidad; por ello se dice que dos objetos son semejantes si "tienen" una proporción entre ellos. 
Por ejemplo, un mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que deba tener una misma proporción, para que las medidas que setomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real. 
Ahora, si tenemos dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, diremos que tienen la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).
Ver: Proporcionalidad de trazos en figuras planas y
Ver: Congruencia de triángulos
En Geometría, diremos que dos figuras son semejantes (~es el signo de semejanza) si, y solo si, tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño; para mayor comprensión, podrìamos decir que una figura corresponde a una "ampliación" de la otra.
Consideraciones importantes:
Si dos polígonos regulares tienen igual número de lados, entonces son semejantes.
Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia.
La congruencia es un casoparticular de la semejanza.
Semejanza de triángulos
En el estudio de la semejanza entre figuras planas, el tópico de la semejanza de triángulos es muy importante para quienes postulen a la PSU.
De modo general, diremos que dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y, además, tengan proporcionales sus lados homólogos(correspondientes).
Para avanzar en la comprensión del concepto de semejanza es preciso definir y entender qué son lados homólogos (correspondientes) y qué es proporcionalidad.
Tenemos la figura siguiente:

Veamos:
Los lados homólogos (correspondientes) son, respectivamente:
a y a' (de color rojo, lado pequeño y lado pequeño)
b y b' (de color verde, lado grande y lado grande)
c y c' (decolor azul, lado mediano y lado mediano)
Si hacemos la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado  es 2 (10 dividido5, 8 dividido 4 y 6 dividido 3); este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados homólogos (correspondientes), se dice que los lados son proporcionales.
Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen teoremas o criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
Importante
Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:
Δ  ABC ~ Δ DEF
Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los lados y los ángulos homólogos.
En el ejemplo anterior, se tiene que:
Elvértice A es homólogo con el vértice D
El vértice B es homólogo con el vértice E
El vértice C es homólogo con el vértice F
El lado AB es homólogo con el lado DE
El lado BC es homólogo con el lado EF
El lado AC  es homólogo con el lado DF

Ahora podemos postular el que se considera como Teorema Fundamental de la Semejanza de Triángulos:
Toda paralela a cualquier lado de un triángulo forma conlos otros dos lados un triángulo semejante al primero, y para que dos triángulos sean semejantes basta con que cada uno posea dos ángulos congruentes.
Si trasladamos el concepto hacia la imagen de la derecha, tendremos:
Hipótesis:
Si  DC // AB, entonces
Tesis: Δ ABE ~ Δ DCE
 
En este momento tenemos que hacer un alcance conceptual:
Cuando estudiamos la Congruencia analizamos los...