Conjuntos

Conjuntos. Relaciones. Aplicaciones
u 1. Dados el conjunto A de los naturales m´ltiplos de 5 y el conjunto B de los n´meros naturales que terminan en 5 o en 0, demostrar que A = B. u 2. Considera el subconjunto A de n´meros naturales formado por los u m´ltiplos de 4 y el conjunto B ⊂ N de los n´meros que terminan u u en 4. Comprueba que A ⊂ B y B ⊂ A. 3. Supongamos que A, B y C son conjuntoscualesquiera. Demuestra que: a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). 4. Sean P , D, T , I y S, respectivamente, los conjuntos de n´meros nau turales primos, m´ltiplos de dos, m´ltiplos de tres, n´meros impares u u u y m´ltiplos de seis. Determina para cada par de ellos la intersecci´n. u o Describe el complementario de cada uno, considerado como subconjunto de losn´meros naturales. Determina P ∪ I, D\T , T \S, P \S, P y u T ∪ I. 5. Llamamos T al conjunto de los tri´ngulos, I al subconjunto de los a tri´ngulos is´sceles, R al de los tri´ngulos rect´ngulos, E al de los a o a a equil´teros y A al de tri´ngulos con todos los ´ngulos agudos. Coma a a prueba que R ∩ E = ∅, R ∩ I = ∅, E ⊂ I, I \ A = ∅. 6. Demuestra las siguientes igualdades de conjuntos: a) b)
7 1 1n=1 [ n , 1] = [ 7 , 1] y 1 1 n∈N [− n , n ] = {0}, 60 1 1 n=2 [ n , 1] = [ 2 , 1] 1 1 n≥2 [ n , 1 − n ] = (0, 1) ∞ n=1 (−n, n)

y

= R.

Producto cartesiano de dos conjuntos Si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano A × B es el conjunto de pares ordenados (m, n) tales que m ∈ A y n ∈ B . 7. Considera los siguientes productos cartesianos: N × N, N × Z, Z × R, R × R y (R × R) × R.Repres´ntalos gr´ficamente. e a

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8. Considera los siguientes productos cartesianos: [a, b] × [c, d], R × [c, d], 1 { n : n ∈ N} × [0, 1] y (0, ∞) × R . Repres´ntalos gr´ficamente. e a Relaciones en un conjunto Una relaci´n R entre los elementos de un conjunto A se puede introduo cir de la siguiente manera: consideramos el producto cartesiano A × A y un subconjunto S de ´l. Decimos que unelemento m de A est´ en ree a laci´n R con otro n de A, y se denota mRn, cuando el par (m, n) ∈ S. o Es decir: podemos identificar una relaci´n R en un conjunto A con un o subconjunto S del producto cartesiano A×A. (Muchas veces, de hecho, se denotan igual). 9. En el conjunto de n´meros naturales N identifica, mediante un subconu junto de pares (m, n) del producto cartesiano N × N, la relaci´n que o enlenguaje normal se expresa ”m es el cuadrado de n”. Se˜ala algun nos elementos que est´n en dicha relaci´n. ¿Hay alg´n n´mero natural e o u u que est´ en esa relaci´n consigo mismo? Representa gr´ficamente esta e o a relaci´n. o Definici´n de relaci´n reflexiva, transitiva, sim´trica y de equio o e valencia. Sea S una relaci´n en el conjunto A. o Se dice que S es reflexiva cuando para cada p ∈ A severifica pSp. (Es decir, el par (p, p) est´ en el subconjunto S ⊂ A × A). a Se dice que S es una relaci´n transitiva cuando se cumple: si mSn y o nSp entonces mSp. Se dice que S es una relaci´n sim´trica cuando se cumple: si mSn o e entonces nSm. Se dice que S es una relaci´n de equivalencia cuando es reflexiva, trano sitiva y sim´trica. e 10. En el conjunto X = {1, 2, 3, 4} se define la siguienterelaci´n R: aRb si o y s´lo si a + b ≤ 6. Describe expl´ o ıcitamente el subconjunto S de X × X que define la relaci´n. ¿Es reflexiva? ¿Es sim´trica? ¿Es transitiva? o e Representa gr´ficamente la relaci´n. a o

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11. Se considera en Z la relaci´n R definida del modo siguiente ”mRn o cuando m − n es par”. ¿Es una relaci´n de equivalencia? ¿Qu´ enteros o e se relacionan con 2? ¿y con 2008? ¿y con 11?¿y con −21? o 12. Si en un conjunto M se tiene una relaci´n de equivalencia, que denotaremos por R, para cada m ∈ M el subconjunto Cm = {p ∈ M | mRp} de todos los elementos que se relacionan con m se denomina clase de equivalencia de m. En el ejercicio anterior has determinado, para la relaci´n dada, las clases de equivalencia de algunos enteros. Con esa o relaci´n o a) Demuestra que si dos...