Conjuntos

UNIVERSIDAD DE PIURA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de Conjunto es una rama de las matemáticas a las que Georg Cantor, dio un tratamiento
formal en 1870 y mejorado por el mismo Cantor en 1874. El concepto de conjunto es uno de los más
fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar
implícita oexplícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma
explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones
matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos.
1. IDEA
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan
en algo común.
En matemática tiene el mismosignificado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o
miembros del conjunto.
La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica
de las matemáticas y fue Georg Cantor en los años 1870 quien manifestó que no puede darse
una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la
palabra "CONJUNTO" debe aceptarselógicamente como un término no definido.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.
2. DETERMINACIÓN O DESIGNACIÓN DE UN CONJUNTO
Hay dos formas de determinar conjuntos: Por Extensión o Por Comprensión
2.1.- Por Extensión: Se dice que un conjunto es determinado por extensión, cuando se da una
lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:

A= { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o, n, j, u, t, s }

Observación: En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
2.2.- Por Comprensión: Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da
una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:

A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos
Por Extensión
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o , n , j, u, t, s }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Por Comprensión
A = { x / x es una vocal }
B = { x / x es un número par menor que 10 }
C = { x / x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { x / x es un númeroimpar menor que 10 }

3. RELACIÓN DE IGUALDAD
En matemática, los objetos en estudio son elementos o conjuntos, y un relación entre elementos
o entre conjuntos es la relación de igualdad que se denota por el símbolo “ = ” ( igual )
Así tendremos que si a y b son elementos de algún conjuntos, la notación a = b nos indica que
a y b representa el mismo elemento.
Si A y B son conjuntos, la notación A= B nos indica que A y B representa el mismo conjunto.
3.1.- Propiedades de igualdad de elementos
P1) a = a, ∀a
P2) a = b implica b = a
P3) Si a = b ∧ b = c implica a = c

Propiedad reflexiva.
Propiedad simétrica.
Propiedad transitiva.

4. RELACIÓN DE PERTENECIA
Si un elemento está en un conjunto dado, se dice que pertenece a él y esto se indica mediante el
símbolo ∈.
Ejemplo:
A = { 6 , {7}, 8}entonces: 6 ∈ A , {7}∈ A y 8 ∈ A
5. RELACION ENTRE CONJUNTOS
La de inclusión de conjuntos a conjunto puede ser de inclusión o de igualdad. Es decir, dado dos
conjuntos A y B incluidos en un cierto universo, puede ocurrir que:
A ⊂ B ( A está incluido en B ) , B ⊂ A ( B está incluido en A ) , A = B ( A es igual B )
5.1.- SUBCOJUNTOS
Definición: A ⊂ B ⇔ ∀x / x ∈ A ⇒ x ∈ B
La notación A ⊂ B , se lee: “Aestá incluido en B” si, y sólo si para todo x, tal que,
x pertenece a A, implica que x pertenece a B.
5.2. SUBCONJUNTO PROPIO
Diremos que A es subconjunto propio de B, si A ⊂ B ∧ A ≠ B
La notación A ⊂ B se lee: “A es subconjunto propio de B”
o
≠
“A es una parte propia de B”

5.3. Propiedades de la inclusión:
Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces las propiedades de la inclusión...