conjuntos

EJERCICIOS CON CONJUNTOS

1. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}.
Hallar:
(a) A  B (b) B  A (c) B' (d) B – A, (e) A'  B
(f) A  B' (g) A'  B' (h) B' - A' (i) (A  B') (j) (A  B').

Solución:
(a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A  B = {a, b, d, e}.

(b)La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B, es decir, A  B = {b, d}.
(c) El complemento de B consta de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c}.

(d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto es, B - A = {e}.

(e) A' = {c, e} y B= {b, d, e}; así que A'  B = {e}

(f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; asíque A  B' = {a, b, c, d}.

(g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A'  B' = {c}.

(h) B' - A' = {a}.

(i) Según (b), A  B = (b, d}; luego (A  B)' = {a,c,e}.

(j) Según (a), A  B = {a, b, d, e}; luego (A  B) ‘ = {c}.

2. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A  (B  C), (2) (A  B)  (A  C), (3) A  (B  C), (4) (A  B)  (A  C).







Solución:
(1)Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B  C con trazos inclinados a la izquierda; en­tonces A  (B  C) es el área con doble rayado.








A y B  C aparecen rayados A  (B  C) lo rayado

(2) Primero rayar A  B con trazos inclinados a la derecha y A  C con trazos inclinados a la izquierda; en­tonces (A  B)  (A  C) resulta ser el área total rayadacomo se muestra enseguida.







A  B y A  C lo rayado (A  B)  (A  B) lo rayado

Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

(3) Primero se raya, A con trazos inclinados a la derecha y se raya B  C con trazos inclinados a la izquierda: así resulta ser A  (B  C) el área total rayada.







A y B  C lo rayado A  (B  C) lo rayado

(1) Primero se raya A  Bcon trazos inclinados a la derecha y se raya A  C con trazos inclinados a la iz­quierda; (A  B)  (A  C) es el área con doble rayado.








A  B y A  C lo rayado (A  B)  (A  C) lo rayado.
Nótese que A  (B  C) = (A  B)  (A  C).





3. Demostrar: B- A es un subconjunto de A’.

Solución:
Sea x perteneciente a B- A. Entonces x  B y x  A: por tanto, x eselemento de A’. Como x  B - A implica x  A’. B - A es subconjunto de A’.

4. Demostrar: B - A’ = B  A.

Solución:
B - A’ = {x | x  B, x  A’} = { x|x  B, x  A} = B  A.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g}
Y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.

Hallar:
(1) A  C (3) C – B (5)A' – B (7) (A – C)' (9) (A - B')'
(2) B  A (4) B' (6) B'  C (8) C'  A (10) (A  A')'

2. En los diagramas de Venn que siguen, rayar:
(1) V  W, (2) W', (3) W - V
(4) V'  W, (5) V  W’, (6) V’ - W’.






(a) (b)
3. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C tenganlas siguientes ca­racterísticas:
(1) A  B, C  B, A  C =  (3) A  C, A  C, B  C = 
(2) A  B, C  B, A  C   (4) A  (B  C), B  C, C  B, A  C

4. Determinar:
(1) U  A (3) ' (5) A'  A (7) U  A (9) A  A
(2) A  A (4)   A (6) U’ (8) A'  A (10)   A.



RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. (1) U (3) {b, f}(5) {f} (7) C = {b, e, f, g} (9) {b, d, f, g}
(2){a, c, e} (4) {b, d, f} (6) {b, d, f, e, g} (8) {a, c, d} (10) U




2. (a) (1) (3) (5)






V  W lo rayado W – V lo rayado V  W’ lo rayado

(2)...