Conjuntos

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Así como pueden definirse diversas operaciones entre números, también existen operaciones entre conjuntos. El resultado de una operación entre conjuntos es a su vez un conjunto.
Fijemos un conjunto universal U y consideremos todos los subconjuntos de U. Entre estos conjuntos están definidas las operaciones de unión, intersección y diferencia. Además, para cadaconjunto se define el complemento. El resultado de cada una de estas operaciones es un subconjunto de U.

1. La unión de conjuntos
Sean A y B dos conjuntos.
La unión A ∪B de A con B es el conjunto cuyos elementos
Pertenecen a A o pertenecen a B.
Por comprensión, la unión entre los conjuntos A y B se define así:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
En particular, A y B son subconjuntos de A ∪ B, puestodos los elementos de A y todos los
Elementos de B pertenecen a A ∪B.
En un diagrama de Venn representamos la unión de dos conjuntos sombreando el área que cubren ambos conjuntos.

[pic]
1. La unión de los conjuntos A y B.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
EJEMPLO Si A = {1, 3, 5} y B = {2, 5}, entonces
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}.
EJEMPLO Si consideramos el intervalo abierto (0, 1) y el conjuntode dos elementos
{0, 1}, entonces (0, 1) ∪ {0, 1} = [0, 1]
Si A es un subconjunto de B, esto es, A ⊆ B, entonces A ∪ B = B.
EJEMPLO Si A = {1, 4, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces A ∪ B =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
EJEMPLO Si A = {x | x es múltiplo de 5} y B = {x | x es múltiplo de 10}, entonces
A ∪ B = {x | x es múltiplo de 5}, dado que todo numero múltiplo de 10 es tambiénmúltiplo de 5. En este caso, B ⊆ A.
La unión de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A, puesto que no
Tiene elementos:
A ∪ ∅ = A.
La unión de un conjunto A con A es el mismo conjunto A:
A ∪ A = A.

2. La intersección
Sean A y B dos conjuntos.
La intersección A ∩ B entre A y B es el conjunto cuyos elementos
Pertenecen a A y pertenecen a B.

Por comprensión, laintersección de los conjuntos A y B se define como
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

EJEMPLO Sean U = N, A = {n | n ≤ 11}, P = {n | n es primo} y B = {n |n es Impar y n ≤ 20}, entonces
A ∩ B = {1, 3, 5 , 7, 9, 11}
A ∩ P = {2, 3 , 5 , 7 , 11}
B ∩ P ={3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

EJEMPLO Si consideramos los intervalos [0, 5) y (3, 6], entonces
[0, 5) ∪ (3, 6] = [0, 6] y [0, 5) ∩ (3, 6] = (3, 5).
SiA es un subconjunto de B, esto es A ⊆ B, entonces
A ∩ B = A.
En particular, A ∩ A = A y A ∩ ∅ = ∅.

EJEMPLO La intersección del intervalo (0, 1) con el conjunto {0, 1} no tiene elementos,
Es decir, es el conjunto vacío

(0, 1) ∩ {0, 1} = ∅,
Es decir que (0, 1) y {0, 1} son conjuntos disjuntos.

En particular, dos conjuntos son disjuntos si y sólo si su intersección es vacía.
En undiagrama de Venn la intersección de dos conjuntos se representa por la región que está determinada por el interior de las curvas cerradas que determinan los conjuntos. Esta región se la destaca con un sombreado. Obsérvese que la intersección de dos conjuntos es vacía si y solo si no hay elementos comunes entre ellos. Esto se grafica con dos curvas cerradas que no se cortan.

U[pic]

3.Complemento de un conjunto

Fijemos U un conjunto universal y A un subconjunto de U.
El complemento de A con respecto a U es el conjunto cuyos elementos son todos los elementos de U que no pertenecen a A y se denota por Ac.

En símbolos,
Ac = {x ∈ U | x ∈ A}.
En un diagrama de Venn el complemento de A es la región exterior de la curva cerrada que determina A y lo destacamos con un subrayado osombreado.

U[pic]
FIGURA Complemento de A.

EJEMPLO Si U = N y P es el conjunto de los números pares, entonces Pc es el conjunto
De los números naturales impares.

EJEMPLO Si U es un plano, y P es un punto en el plano, entonces Pc es el plano sin el
Punto P.

EJEMPLO 2 Sea U = Z. Entonces Zc = ∅.

4. Diferencia

Sean A y B dos conjuntos.
La diferencia o complemento relativo A − B...