Consigna 2 Teorema 39

Consigna 2) Condiciones de suficiencia para determinar un paralelogramo.
En la actividad X se pide que enuncie las propiedades recíprocas a las enunciadas en los teoremas 37 y 38. Las mismasproporcionarán condiciones de suficiencia para afirmar que un cuadrilátero convexo es un paralelogramo. Los enunciados podrían formularse así:
Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelogramo essuficiente que…
i) sean congruentes entre si sus lados opuestos.
ii) sean congruentes entre si sus ángulos opuestos.
iii) sus diagonales se corten en un punto, de tal manera que este sea punto medio de cadadiagonal.


Las hipótesis y tesis correspondientes son:
Condición de suficiencia i)
Condición de suficiencia ii)
Condición de suficiencia iii)
H) cuadrilátero convexo


H) cuadrilátero convexo


H)cuadrilátero convexo

es punto medio de
es punto medio de


T) es un paralelogramo


Elija una de las tres propiedades y demuéstrela.

Asimismo, el teorema 39 también presenta un criterio paradeterminar si un cuadrilátero es un paralelogramo. Demuéstrelo.






Demostraremos la condición de suficiencia iii)


abcd: cuadrilátero convexo

o: punto medio de
o: punto medio de


abcd:paralelogramo


Comparamos por congruencia los triángulos aob y doc:





Por primer criterio de congruencia de triángulos, al tener dos lados y el S.A. comprendido respectivamente congruentes, resultaque los triángulos aob doc.
Por lo tanto todos sus elementos homólogos son congruentes, en particular los S.A. .
se encuentran en posición de alternos internos respecto de las rectas ab y cd, cortadaspor la transversal ac. Por lo tanto ab//cd.


Comparamos por congruencia los triángulos aod y boc:




Por primer criterio de congruencia de triángulos, al tener dos lados y el S.A. comprendidorespectivamente congruentes, resulta que los triángulos aod boc.
Por lo tanto todos sus elementos homólogos son congruentes, en particular los S.A. .
se encuentran en posición de alternos internos...