Construccionescompleto
Páginas: 21 (5135 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2015
Construcciones con regla y comp¶as
Juan Sabia
Introducci¶on
La idea de esta clase es ver qu¶e construcciones geom¶etricas pueden hacerse con el uso de una regla no graduada (sin marcas), de un comp¶as, de un l¶apiz y una hoja. Esta forma de construir ¯guras geom¶etricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geometr¶³a con la perfecci¶on y la religi¶on. Todos estamosacostumbrados a que en el colegio primario se ense~ne a trazar la bisectriz de un ¶angulo, la mediatriz de un segmento y a construir tri¶angulos con regla y comp¶as. La pregunta es qu¶e otras construcciones se pueden hacer.
Los griegos ya tenan planteadas tres preguntas (que hoy se consideran cl¶asicas):
>Se puede trisecar un ¶angulo usando s¶olo regla y comp¶as?
>Se puede duplicar un cubo usandos¶olo regla y comp¶as? (es decir, si tenemos un modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, >se puede construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v s¶olo usando regla y comp¶as?)
>Se puede cuadrar un c¶³rculo con regla y comp¶as? (es decir, dado un c¶³rculo, >se puede dibujar un cuadrado de su misma super¯cie usando s¶olo regla y comp¶as?)
Otra pregunta quepuede formularse es:
² >Cu¶ales pol¶³gonos regulares pueden construirse usando regla y comp¶as?
Vamos a intentar dar respuesta a algunas de estas preguntas (otras se escapan al contenido del curso).
Reglas y ejemplo
Lo primero que vamos a ¯jar son las reglas para dibujar con regla y comp¶as. Partimos de un conjunto dado de puntos en el plano. Las construcciones que pueden hacerse son:
Se puededibujar la recta que pasa por dos puntos dados.
Se puede trazar la circunferencia que tiene centro en un punto dado y cuyo radio sea la distancia entre dos puntos dados.
1
Las intersecciones de rectas o circunferencias que se puedan dibujar se consideran puntos que pueden usarse para seguir dibujando.
En general, para simpli¯car la cuesti¶on, vamos a considerar que partimos de s¶olo dospuntos. Un punto se dir¶a construible si se puede construir en un n¶umero ¯nito de pasos a partir de estos dos puntos.
Ejemplo:
Marcamos primero los dos puntos A y B en el plano:
Podemos trazar la recta que une los dos puntos marcados, o cualquier circunferencia que tenga por centro uno de los puntos y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todas las construcciones posiblesser¶³an:
Con nuestra construcci¶on aparecieron cuatro nuevos puntos (C, D, E y F) que podemos usar para seguir dibujando:
2
Por ejemplo, podemos trazar la circunferencia con centro E y radio igual a la distancia entre A y E, y obtenemos los puntos G y H:
De paso demostramos que algunos pol¶³gonos regulares son construibles con regla y comp¶as: elhex¶agono
y el tri¶angulo
y como sabemos bisecar ¶angulos, podemos construir cualquier pol¶³gono regular que tenga 2n:3 lados para n natural.
Hay dos construcciones b¶asicas que sabemos hacer con regla y comp¶as que vamos a usar y no vamos a detallar:
3
Dados tres puntos A, B, y C, trazar la perpendicular por C a la recta que pasa por
A y B.
Dados tres puntos A, B, yC, trazar la paralela por C a la recta que pasa por A y
B.
Dados A y B, podemos pensarlos como los puntos (0; 0) y (1; 0) del plano y, por las construcciones b¶asicas anteriores, podemos trazar los ejes cartesianos utilizando s¶olamente regla y comp¶as.
Coordenadas
La noci¶on de punto construible ahora signi¯car¶ \construible a partir del (0; 0) y del
(1; 0)". Por ejemplo, enla secci¶on anterior, vimos que los puntos (21
p
), (¡21 ;
p
), (¡1; 0),
;
3
3
2
2
p
p
1
3
1
3
(¡2
; ¡
) y (2
; ¡
) (que, junto al (1; 0) son los v¶ertices del hex¶agono regular inscripto
2
2
en la circunferencia de centro (0; 0) y radio 1) son construibles.
Lema: Un punto (x; y) es construible si y s¶olo si los puntos (x; 0) e (y; 0) son...
Construcciones con regla y comp¶as
Juan Sabia
Introducci¶on
La idea de esta clase es ver qu¶e construcciones geom¶etricas pueden hacerse con el uso de una regla no graduada (sin marcas), de un comp¶as, de un l¶apiz y una hoja. Esta forma de construir ¯guras geom¶etricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geometr¶³a con la perfecci¶on y la religi¶on. Todos estamosacostumbrados a que en el colegio primario se ense~ne a trazar la bisectriz de un ¶angulo, la mediatriz de un segmento y a construir tri¶angulos con regla y comp¶as. La pregunta es qu¶e otras construcciones se pueden hacer.
Los griegos ya tenan planteadas tres preguntas (que hoy se consideran cl¶asicas):
>Se puede trisecar un ¶angulo usando s¶olo regla y comp¶as?
>Se puede duplicar un cubo usandos¶olo regla y comp¶as? (es decir, si tenemos un modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, >se puede construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v s¶olo usando regla y comp¶as?)
>Se puede cuadrar un c¶³rculo con regla y comp¶as? (es decir, dado un c¶³rculo, >se puede dibujar un cuadrado de su misma super¯cie usando s¶olo regla y comp¶as?)
Otra pregunta quepuede formularse es:
² >Cu¶ales pol¶³gonos regulares pueden construirse usando regla y comp¶as?
Vamos a intentar dar respuesta a algunas de estas preguntas (otras se escapan al contenido del curso).
Reglas y ejemplo
Lo primero que vamos a ¯jar son las reglas para dibujar con regla y comp¶as. Partimos de un conjunto dado de puntos en el plano. Las construcciones que pueden hacerse son:
Se puededibujar la recta que pasa por dos puntos dados.
Se puede trazar la circunferencia que tiene centro en un punto dado y cuyo radio sea la distancia entre dos puntos dados.
1
Las intersecciones de rectas o circunferencias que se puedan dibujar se consideran puntos que pueden usarse para seguir dibujando.
En general, para simpli¯car la cuesti¶on, vamos a considerar que partimos de s¶olo dospuntos. Un punto se dir¶a construible si se puede construir en un n¶umero ¯nito de pasos a partir de estos dos puntos.
Ejemplo:
Marcamos primero los dos puntos A y B en el plano:
Podemos trazar la recta que une los dos puntos marcados, o cualquier circunferencia que tenga por centro uno de los puntos y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todas las construcciones posiblesser¶³an:
Con nuestra construcci¶on aparecieron cuatro nuevos puntos (C, D, E y F) que podemos usar para seguir dibujando:
2
Por ejemplo, podemos trazar la circunferencia con centro E y radio igual a la distancia entre A y E, y obtenemos los puntos G y H:
De paso demostramos que algunos pol¶³gonos regulares son construibles con regla y comp¶as: elhex¶agono
y el tri¶angulo
y como sabemos bisecar ¶angulos, podemos construir cualquier pol¶³gono regular que tenga 2n:3 lados para n natural.
Hay dos construcciones b¶asicas que sabemos hacer con regla y comp¶as que vamos a usar y no vamos a detallar:
3
Dados tres puntos A, B, y C, trazar la perpendicular por C a la recta que pasa por
A y B.
Dados tres puntos A, B, yC, trazar la paralela por C a la recta que pasa por A y
B.
Dados A y B, podemos pensarlos como los puntos (0; 0) y (1; 0) del plano y, por las construcciones b¶asicas anteriores, podemos trazar los ejes cartesianos utilizando s¶olamente regla y comp¶as.
Coordenadas
La noci¶on de punto construible ahora signi¯car¶ \construible a partir del (0; 0) y del
(1; 0)". Por ejemplo, enla secci¶on anterior, vimos que los puntos (21
p
), (¡21 ;
p
), (¡1; 0),
;
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p
p
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(¡2
; ¡
) y (2
; ¡
) (que, junto al (1; 0) son los v¶ertices del hex¶agono regular inscripto
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en la circunferencia de centro (0; 0) y radio 1) son construibles.
Lema: Un punto (x; y) es construible si y s¶olo si los puntos (x; 0) e (y; 0) son...
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