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.10.c   Teorema de Stewart.    Sean ABC un triángulo de lados  y AX una ceviana de longitud , que divide al segmento BC en dos segmentos BX =  y  XC = .  Entonces .
Hipótesis: Sea ABC un triángulode lados . 
Sea AX una ceviana de longitud , que divide al segmento BC= en dos segmentos BX= y XC=. 
 
Tesis: 
Demostrar que  
|
Demostración.
P1. 
Sean ángulo  y 
 . 
Aplicando el TeoremaII.10.a, la ley de los cosenos, a los ángulos suplementarios  y , tenemos:
 
y 
.
Por lo tanto, 

P2. 
Multiplicando la ecuación (1) por  y la ecuación (2) por , y sumando miembro a miembro,tenemos 
.
Factorizando, nos queda:
.
Y como , de la ecuación anterior obtenemos: 

Teorema de Stewart y Círculo de Apolonio
Mauricio Marcano
1. Teorema de Stewart
Sean a,b,c las longitudesde los lados BC, AC y AB respectivamente, del triángulo ABC. Sea D un
punto dentro del segmento BC. Si BD=m, CD=n y AD=d se cumple que:
d²a= b²m + c²n - mna
Demostración:
Sea <ADB=α <ADC= 180-α.
Utilizaremos Ley del Coseno (L.C) en ∆ABD y ∆ACD.
a) L.C ∆ABD  c²= d² + m² -2dm(cos α)  cos α= ( d² + m² - c²) / 2dm (1)
b) L.C ∆ACD  b²= d² + n² - 2dn[cos (180 – α)]  comocos(180- α)= -cos α tenemos que:
b²= d² + n² + 2dn (cos α)  cos α= (b² - d² - n²) / 2dn (2)
 Igualando (1) y (2) tenemos ( d² + m² - c²) / 2dm = ( b² - d² - n²) / 2dn 
 d²n + m²n -c²n = b²m - d²m - n²m  [d²n+d²m]= b²m + c²n –[m²n + n²m] 
 d²(m+n)= b²m + c²n –mn(m+n). Además como  m+n= BD+CD=BC=a 
 d²a= b²m + c²n –mna Demostrando así el Teorema de Stewart.

Teorema deCeva

Sean X, Y, Z tres puntos cualesquiera de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemáticoitaliano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:
Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes,...