contaduria

Cap´ıtulo 6

Ecuaciones no Algebraicas
eneralmente para lograr resolver problemas de la vida cotidiana utilizando matem´atica, se

G ocupan ecuaciones algebraicas, ya que estas son suficientes para la mayor´ıa de los problemas
que nos puedan acontecer.
Sin embargo, en el estudio m´
as acabado de la matem´atica te encontrar´as en circunstancias
en que un problema solo puede ser resueltocon las llamadas Ecuaciones no Algebraicas, como
por ejemplo para describir fen´
omenos del electromagnetismo.
Las llamadas ecuaciones no algebraicas son aquellas en que la inc´ognita o variable a encontrar
no esta presente en un polinomio, por lo que no nos ser´an de utilidad los m´etodos de resoluci´
on
que vimos anteriormente.
Las ecuaciones no algebraicas que estudiaremos sonprincipalmente las Ecuaciones Exponenciales y las Ecuaciones Logaritmicas.
Versi´
on 1.0, Enero de 2008

6.1.

Ecuaci´
on Exponencial

Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones en que la inc´ognita esta presente en el
exponente de una cantidad.
♠ Por ejemplo:
† 3x+1 + 1 = 2 , Si es una ecuaci´on exponencial.
† 3x2 + 8x = 8 , No es una ecuaci´on exponencial.

6.1.1.

Resoluci´
onde Ecuaciones Exponenciales

Para resolver las ecuaciones exponenciales principalmente ocupamos las siguientes propiedades:
1. ab = ac ⇔ b = c
2. ab = cb ⇔ a = c
Es decir, debemos lograr igualar las bases de las potencias de ´estas ecuaciones para de ´esta
manera poder “trasformar” una ecuaci´on exponencial en una ecuaci´on algebraica.

77

6. Ecuaciones no Algebraicas
♠ Ejemplo 15x+9 = 125
5x+9 = 53
⇒x+9 = 3
x = 3−9
x = −6
♠ Ejemplo 2

3x+1 − 2 = 25
3x+1 = 25 + 2
3x+1 = 27
3x+1 = 9 · 3
3x+1 = 3 · 3 · 3
3x+1 = 33
⇒x+1 = 3
x = 3−1
x = 2
♠ Ejemplo 3

84x−8 − 9 = −8
84x−8 = −8 + 9
84x−8 = 1
84x−8 = 80
⇒ 4x − 8 = 0
4x = 8
8
x =
4
x = 2

Actividad 6.1.

♣
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1.
2.
3.
4.
5.

78

P. Paredes
M.Ram´ırez

2x−5 = 1
43x+6 − 22x−7 = 0
83x+5 = 4x−1
10x(x+1) = 1
2562x+5 − 2x = 2x

6.
7.
8.
9.
10.

1
4√x = 64
4
6x+2 = ax−9
√
√a
3
x
4 − 8x+1 = 0
x
9
π√ = π
10
9x2 = 3

11.
12.
13.

´ n Universitaria
Prueba de Seleccio

√
5
x
√ 32 − 1 − 1 = 0
10242x+8 = 2x
1
81x = 243

´ n Logar´ıtmica
6.2. Ecuacio

6.2.

Ecuaci´
on Logar´ıtmica

6.2.1.Significado de un Logaritmo

El logaritmo de un n´
umero es el exponente al que hay que elevar otro n´
umero llamado base
para obtener el n´
umero en cuesti´
on.
♠ Por ejemplo, veamos las potencias del n´
umero 3.

30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
..
.

As´ı, el logaritmo en base 3 de 1 es 0, ya que 0 es el exponente al que hay que elevar 3 para
dar por resultado 1; de la misma manerael logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo en
base 3 de 9 es 2, el logaritmo en base 3 de 27 es 3, etc.
La notaci´
on que ocupamos para representar los logaritmos es la siguiente:
loga b = c
Y se lee el logaritmo en base a de b es c.
La notaci´
on anterior del logaritmo, la podemos explicar de la siguiente manera:
loga b = c

⇔

ac = b

Cuando no se escribe la base de un logaritmose asume que esta es 10, es decir:
log a = log10 a

6.2.2.

Propiedades de los Logaritmos

1. La base de un logaritmo no puede ser negativa, ya que si lo fuera sus potencias pares
ser´ıan positivas y las impares negativas, y tendr´ıamos una serie de n´
umeros alternadamente
positivos y negativos, resultando n´
umeros positivos que no tendr´ıan logaritmo.
2. Los n´
umeros negativos notienen logaritmo, ya que siendo la base positiva, cualquiera
de sus potencias es siempre un n´
umero positivo.
3. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de la base es siempre 1, pues siendo una base
a, entonces a1 = a, es decir:
loga a = 1 ∀ a
4. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de 1 es 0, pues para todo a = 0 se tiene que
a0 = 1, es decir:
loga 1 = 0 ∀ a
´ tica
Matema

P....