Contenido 01 Fundamentos Calculo

SEMANA 1

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
1

Inducción y Sumatorias
Definición: Una sucesión es un conjunto de números ordenado indexado por los números naturales de
la siguiente forma:

Por ejemplo podemos formar la sucesión de los números pares

Una pregunta que surge rápidamente es ¿Cuánto vale la suma de los 15 primeros pares?
La respuesta es más o menos fácil, si tomamos una calculadorao simplemente estableciendo la suma
podemos llegar con rapidez al valor 240. Pero ¿qué pasa si nos plantean sumar los 50.000 primeros
números pares?
Entonces, tal vez sería más eficiente intentar modelar la suma de cualquier cantidad de ellos para
facilitar los cálculos.
Para eso introduciremos un par de conceptos previos.

Teorema de Inducción
Considere una fórmula acerca de los númerosnaturales que llamaremos ϕ. Entonces:
a) Si ϕ(1) es cierta.
b) Si cada vez que

es verdadera se cumple que

Entonces, podemos asegurar que para todo

también es verdadera.

la fórmula ϕ(n) es verdadera.

Ejemplo:
Queremos probar que para todo

es cierto que:

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
2

Para demostrar esto usaremos el teorema de inducción.

Nuestra fórmula ϕ es

Por lo tanto, lo primero quedebemos verificar es que ϕ(1) es cierta.
Por un lado, la suma planteada es 1, y por otro lado

por lo tanto la fórmula es cierta para el

primer número natural.

El segundo paso es suponer que:

Es una proposición verdadera, a esta proposición la llamamos la hipótesis de inducción.
Nuestro objetivo es demostrar que la fórmula es cierta para el siguiente natural (a saber k +1).
Es decir, queremosprobar que:

Entonces partimos de lo único que sabemos que es cierto, la hipótesis de inducción.

Y si sumamos a cada lado k + 1 obtenemos:

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
3

Si nos fijamos el lado izquierdo de nuestra fórmula es igual al lado izquierdo de lo que queremos demostrar, por lo
que debemos manipular algebraicamente el lado derecho para obtener la igualdad deseada (la tesis deinducción).

Notemos que la expresión

podemos factorizar (k +1) y obtenemos:

Obteniendo lo deseado.
Por lo tanto, por la vía del teorema de inducción, es cierto que:
Para todo

Ejercicio: calcule la suma de los 30 primeros números naturales.
Demos ahora un paso adelante usando inducción para demostrar otras fórmulas.

Ejercicios:
Demuestre, imitando el proceso de inducción antes descrito, lassiguientes fórmulas:

1.

2.

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
4

Sumatoria y sus propiedades
Definición: Sean

números reales. La suma de todos estos números reales puede ser

denotada por:

Donde
es la letra griega sigma. Como esta es una manera de denotar la suma de una colección de elementos,
esta cumple las propiedades usuales de la suma:

Teorema:

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
5Ejercicios:
1.- Calcule:

2.- Calcule:

3.- Calcule:

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1
6

Teorema del binomio
El siguiente teorema nos dará una técnica para calcular expresiones de la forma

, es sabida la fórmula

para

Pero qué pasa cuando queremos calcular

una opción es multiplicar 5 veces la expresión para

con

ella misma.

Pero eso sería un proceso un poco tedioso, el teorema del binomio nosdará la facilidad de calcular esto con una
sola fórmula.
Para poder usar el teorema del binomio necesitamos introducir un par de conceptos previos:

Definición:
Considere

definimos:

Notemos que

, y así sucesivamente y por lo tanto en general se cumple

Por eso necesitamos definir

Teniendo la definición anterior en mente podemos hacer la siguiente definición:
Definición:
Para

ESTE DOCUMENTOCONTIENE LA SEMANA 1
7

Ejercicios: Calcule

Teniendo la definición anterior podemos dar paso a uno de los puntos más importantes de la semana:

Teorema del binomio:
Para todo

y para todo

se cumple que:

Observación: La demostración de ese teorema se hace por inducción, si lo desea puede buscarla en algún libro o
preguntarle al tutor, pero no la realizaremos aquí pues se escapa de los fines de...