contenido de humedad

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
A. Introducción teórica
B. Ejercicios resueltos

A. Introducciónteórica

En los sistemas de ecuaciones no lineales, a diferencia de los lineales,
aparecen ecuaciones en las que hay incógnitas de grado mayor que uno, por
ejemplo:
2x − y = −1 



2
(x − 1) +y = 3


En el caso de sistemas de dos ecuaciones de dos incógnitas, las ecuaciones ya
no serán dos líneas rectas. Una de ellas, o las dos, pueden ser parábolas,
elipses, hipérbolas. Lasolución será los puntos en los que las dos ecuaciones
se corten.

B. Ejercicios resueltos


x 2 − y 2 = 8

1.

x ⋅ y = −3 


Solución:
Lo primero que vamos a hacer es manipularconvenientemente la
2

3  3
 − y 2 = 8 ⇒ y 4 + 8y 2 − 9 = 0,
⇒ x = − ⇒ − 



y  y

,en donde ahora hacemos el cambio t 2 ≡ y , lo que implica que
y 4 + 8y 2 − 9 = 0 ⇒ t 2 + 8t − 9 = 0Resolvemos la ecuación de segundo grado:
2

2

t + 8t − 9 = 0 ⇒ t =

−8 ± (−8) − 4 ⋅ 9
2a

Ahora deshacemos el cambio:

1/6

t 1 = −9

=


t 2 = 1


Sistemas deecuaciones no lineales resueltos

TIMONMATE

t = −9 ⇒ x 2 = −9 ⇒ x = ± −9 , que no tiene soluciones en ℝ
1


2

t 2 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ x = ± 1


Sólo hay dos posibles valores de x. Hallamos elvalor de y para cada x:
3
Si x=1, entonces: y = − = −3
1
Si x=-1, entonces: y = −

3
=3
(−1)

Conclusión:
(x, y) = (1, −3)

(x, y) = (−1, 3)

1
1

+ 2 = 13
2

x
y


2.

1 1
− =1 


x y


Solución:
Lo primero que vamos a hacer es manipular convenientemente la
1
ecuación inferior para escribirla en función de 2 y llevarla así a la
x
ecuaciónsuperior.
Escribimos como sigue la ecuación inferior:
2
2

 1 

 
  = 1 + 1  ⇒ 12 = 1 + 2 + 12

  
x 
y
x
y y


Ahora la llevamos a la superior:
2


1 + 2...