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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Gráficamente el que una función f(x) sea continua en un punto
xo , significa que no se rompe su
gráfica en el punto ( xo , f( xo )), es decir, se puede dibujar sinlevantar el lápiz del papel en las proximidades de dicho punto.
Intuitivamente la continuidad de f(x) en
xo quiere decir que variaciones pequeñas de la variable x
cuando está próxima a
xo , lecorresponden variaciones pequeñas de f(x).

A continuación se formaliza el concepto de función continua.

Una función real f(x) es continua en
xo si se cumple lim
x xo
f (x) f (xo ) .
Se dice que f esfunción continua en un subconjunto A si lo es en todos los puntos de A.

Ejemplo 17: Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
⎧⎪ 5x2
a) f (x) ⎨

si x 1en el punto x = 1.
⎪⎩2x  3 si
x 1

Se calculan los límites laterales ya que la función tiene distinta definición por la derecha y por la izquierda del punto:

lim f (x) 
x 1

lim 2x 3 5
x1

y lim f (x) 
x 1
lim 5x2 5 , luego
x 1
lim f (x) 5 .
x 1

Además, como f(1) = 5 y coincide con

lim f (x) , se cumple que f es continua en el punto x = 1.
x 1

⎧⎪2x2  1 si
b) f (x)⎨
x 1

en el punto x = 1.
⎪⎩

Se calcula
0 si

lim f (x) 
x 1
x 1
lim 2x2  1  1 y como f(1) = 0, se cumple que
x 1


lim f (x) f (1) y por tanto, f no es continua en el
x 1
punto x = 1.

c)f (x) 
1

(x 3)4

en el punto x = 3

En este caso no existe f(3), ya que 3 anula el denominador, por tanto, f no es continua en el punto x = 3
⎧ 2 si

x 0
d) f (x)  ⎨1  e1/ x
en el punto x =0.
⎪ 0 si
x 0


Como
e1/ x

tiene distinto límite según x tienda a 0 por la derecha o por la izquierda, para obtener

lim
x 0
2 se
1 e1/ x
calculan los límites laterales:
lim
2  2
22 ,
lim
2  2
 2 2 0
x 0
1 e1/ x
1 e
1 0
x 0
1 e1/ x
1 e
1  
Como estos límites no coinciden, entonces no existe
lim f (x) , y por ello, f no es continua...