Contreras Domingo

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Tema 2: Espacios vectoriales
Ejercicios
1. En R2 se definen las siguientes operaciones: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ¿Es un espacio vectorial? 2. ¿Cu´les de los siguientes subconjuntos, de R3 o P3 (R), son subespacios vectoriales? a (a) S = {(x, y, z) : y = 0} (b) S = {(x, y, z) : x + y + z = 0} (c) S= {(x, y, z) : x + z = 1} (d) S = {(x, y, z) : x + z = 0} (e) S = {(x, y, z) : x + z ≤ 0} (f) S = {(x, y, z) : xy = 0} (g) S = p(x) = x3 + ax + b : a, b ∈ R (h) S = p(x) = ax3 + b : a, b ∈ R y α (x, y) = (αx, y)

3. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores en R3 : (a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} (b) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} (c) {(1,0, a), (a, 1, 0), (0, a, 1)} (d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}

4. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores en P2 (R): (a) (b) 1, 1 + x, 1 + x + x2 x, x2 , x + x2 (c) (d) 1 − x2 , 1 + x, x2 − x, x + x2 1 + x2 , 2 + x2

5. Sean f, g, h : {a, b, c} −→ R definidas como: f (a) = 0, f (b) = f (c) = 1; g(a) = g(c) = 1, g(b) = 0; h(a) = h(b) = 1, h(c) =0. Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto {f, g, h}. 6. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes. En el primer caso, encuentra una combinaci´n lineal entre ellos y o un subconjunto con un n´mero m´ximo de vectores linealmente independientes. u a (a) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} (b) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} (c) {(1, 0,1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)} (d) 1 + 3x + 4x2 , 4 + x2 , 3 + x + 2x2 ⊂ P2 (R)

e 7. ¿Para qu´ valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3 ? Para a = 2, calcula las coordenadas del vector v = (−1, 1, 3) respecto de dicha base. 8. En P3 (R) se considera la base B = 1, 1 − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 . Halla las coordenadas del polinomio p = 2 − 3x +x2 + 2x3 respecto de dicha base. 9. En P2 (R) se considera el conjunto B = 1, x + 3, (x + 3)2 . Prueba que es una base, y halla las coordenadas del polinomio p = a + bx + cx2 respecto de dicha base.

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10. Averigua si los vectores u = (1, −1, 0) y w = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial generado por el conjunto devectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}. 11. Determina a y b para que el vector (2, a, 3, −b) pertenezca al subespacio generado por los vectores (2, 3, 1, −5) y (0, 2, −1, 3). 12. Sean los conjuntos: A = {(1, 0, −1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, B = {(2, 1, −1), (1, 2, 1)} y C = {(2, 1, −1), (1, −1, 0)}. Demuestra que A y B generan el mismo subespacio, y que ´ste no coincide con elgenerado por C. e 13. Halla una base del espacio vectorial generado por el conjunto de vectores: {v1 = (3, 2, 0, 5), v2 = (−1, 0, 3, −4), v3 = (2, 2, 3, 1), v4 = (0, 2, −9, 17)} 14. Se consideran los vectores de R4 : (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1 + a, 1) y (1, 1, 1, 1 + a), a ∈ R. Determina, en funci´n de a, la dimensi´n y una base del o o espacio vectorial S que generan. 15. Halla ladimensi´n y una base del espacio vectorial o M= a + b + 3c 2a − b −a − c a + 2b + 5c : a, b, c ∈ R

16. Estudia si es subespacio vectorial de R4 el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas: (a) x1 + x2 = 0 x3 + x4 = 0 (b) x1 + x2 = 1 x3 + x4 = 1

En caso afirmativo, determina una base. 17. Encuentra un sistema de generadores, una base y la dimensi´n del subespacio vecotorial de soluciones del sistema:   x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 0   x1 + 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 0  x2 + x3 − 2x4 − x5 = 0   x1 + x3 − 2x4 − 3x5 = 0  3 1 1 o 18. Si A = 0 3 1, determina la dimensi´n y una base del espacio vectorial generado 0 0 3 por {An : n ≥ 0}. 19. En R3 se consideran S = {(x, y, z) : x = −z} y T = {(x, y, z) : x = z − y}. (a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales de R3...