Control 1 1sem2014 1

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Pauta Control 1 de Algebra
I
27 de Marzo, 2014.
Profesores: Nicol´as Abarz´
ua, V´ıctor Bravo, Pablo Carrasco, Gabriela Fern´andez, Eduardo Hirsh,
Iv´an Jorquera, Roberto Medina, Eduardo Olave,Denis Osses, Mar´ıa Elena Saavedra, Salvador Y´an
˜ez.
1. Demuestre que para todo a y b en R+ se tiene que (a + b)(a−1 + b−1 ) ≥ 4.
Soluci´on:
Note que para todo a y b en R se tiene que (a − b)2 ≥ 0.Luego vemos que
(a − b)2 ≥ 0 ⇔ a2 − 2ab + b2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
Como a y b son positivos, se tiene que ab > 0, entonces
a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ (a2 + b2 )(ab)−1 ≥ 2
a2 + b 2
≥2
⇔
ab
a b
⇔
+ ≥2
b a
a b
⇔ 1+ ++1≥4
b a
−1 −1
⇔ aa ab + a−1 b + bb−1 ≥ 4
⇔ (a + b)(a−1 + b−1 ) ≥ 4
Criterios de Correcci´on:
2 puntos por considerar una proposici´on o propiedad que conduzca a la desigualdad.
2 puntos por utilizar lahip´otesis a y b positivos en el desarrollo algebraico.
2 puntos por concluir la desigualdad pedida.

1

2. Resuelva en R las siguientes inecuaciones:
√
a) x + 1 < x2 + 1
Soluci´on:
Primero notar quex2 + 1 > 1 > 0 para todo x ∈ R, por tanto no hay restricciones.
√
Si x + 1 < 0 o sea x < −1, la desigualdad x + 1 < x2 + 1 es siempre verdadera. Por tanto todo
n´
umero real menor que −1 es soluci´onde la inecuaci´on es decir los x en (−∞, −1).
√
Si x + 1 ≥ 0 o sea x ≥ −1, la desigualdad x + 1 < x2 + 1 implica que (x + 1)2 < x2 + 1, luego
x2 + 2x + 1 < x2 + 1 ⇔ 2x < 0 ⇔ x < 0. Por tanto todo n´umero real mayor o igual a −1 y menor
que 0 es soluci´on de la inecuaci´on es decir los x en [−1, 0). De esta forma la soluci´on total de la
inecuaci´on es S = (−∞, −1) ∪ [−1, 0) = (−∞, 0).
Criteriosde Correcci´on:
0, 5 puntos por restricciones.
1 punto por analizar la inecuaci´on para x + 1 < 0.
1 punto por analizar la inecuaci´on para x + 1 ≥ 0.
0, 5 puntos por encontrar el conjunto soluci´on.b) (x2 + x − 2)(x − 3) > 0
Soluci´on:
Note que 3x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1), por tanto debemos ver para que valores de x ∈ R se tiene
que (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0. En efecto, los puntos criticos...