Control 2 1s 2014 MN PautaB
Páginas: 3 (533 palabras)
Publicado: 28 de octubre de 2015
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA
Control #2 (B) – Primer Semestre 2014
1.-
Considerelos siguientes datos
( )
2
3
4
5
0.8
0.9
0.941176
0.961538
Se quiere aproximar el valor de , para el que ( )
. De la siguiente forma:
a) Use interpolación polinomial de grado convenientepara aproximar
Solución: por diferencias divididas podemos crear los siguientes polinomios
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
Donde los coeficientes se calculan
Así lospolinomios quedan conformados de la siguiente manera:
( )
( )
Tenemos que
( )
entonces
(
)
)(
)
El polinomio de grado 2 nos queda
( )
(
)
(
)(
)
( )
Como
( ) interpola a la función entonces
()
obteniendo
Así obtenemos dos valores de para a
Según los valores de f(x) podemos notar que
se encuentra en el intervalo
por lo que a
pertenecer a este intervalo, así podemos elegir nuestraaproximación
Ahora con el polinomio de grado 3
( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
( )
Como
( ) interpola a la función entonces
Al igual que en
( )
obteniendo
( ) el valor de a aproximado es
b)Use interpolación inversa con todos los datos de la tabla, para aproximar nuevamente .
Solución: Para realizar interpolación inversa debemos invertir los ejes, y el polinomio de mayor
grado utilizandotodos los datos de la tabla es el polinomio de grado 3.
Formando el polinomio de grado 3
( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
Para calcular α tenemos
( )
⁄
()
(
)
Por lo tanto solo basta conevaluar nuestro polinomio de grado 3 que interpola a
evaluamos en
c) Si ( )
obteniendo
⁄(
), determine el valor “analítico” de
Solución: evaluando en α tenemos
( )
(
(
)
√
)
d) Indique los d.s.de sus aproximaciones ¿Cuál es mejor?
Solución:
Interpolación polinomio de grado 1
|
|
Interpolación polinomio de grado 2
|
|
.
( ) y la
Interpolación polinomio de grado 3
|
|
...
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA
Control #2 (B) – Primer Semestre 2014
1.-
Considerelos siguientes datos
( )
2
3
4
5
0.8
0.9
0.941176
0.961538
Se quiere aproximar el valor de , para el que ( )
. De la siguiente forma:
a) Use interpolación polinomial de grado convenientepara aproximar
Solución: por diferencias divididas podemos crear los siguientes polinomios
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
Donde los coeficientes se calculan
Así lospolinomios quedan conformados de la siguiente manera:
( )
( )
Tenemos que
( )
entonces
(
)
)(
)
El polinomio de grado 2 nos queda
( )
(
)
(
)(
)
( )
Como
( ) interpola a la función entonces
()
obteniendo
Así obtenemos dos valores de para a
Según los valores de f(x) podemos notar que
se encuentra en el intervalo
por lo que a
pertenecer a este intervalo, así podemos elegir nuestraaproximación
Ahora con el polinomio de grado 3
( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
( )
Como
( ) interpola a la función entonces
Al igual que en
( )
obteniendo
( ) el valor de a aproximado es
b)Use interpolación inversa con todos los datos de la tabla, para aproximar nuevamente .
Solución: Para realizar interpolación inversa debemos invertir los ejes, y el polinomio de mayor
grado utilizandotodos los datos de la tabla es el polinomio de grado 3.
Formando el polinomio de grado 3
( )
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)
Para calcular α tenemos
( )
⁄
()
(
)
Por lo tanto solo basta conevaluar nuestro polinomio de grado 3 que interpola a
evaluamos en
c) Si ( )
obteniendo
⁄(
), determine el valor “analítico” de
Solución: evaluando en α tenemos
( )
(
(
)
√
)
d) Indique los d.s.de sus aproximaciones ¿Cuál es mejor?
Solución:
Interpolación polinomio de grado 1
|
|
Interpolación polinomio de grado 2
|
|
.
( ) y la
Interpolación polinomio de grado 3
|
|
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