Control Nivel

Modelado y simulaci´n de un proceso de nivel
o
Carlos Gaviria
Febrero 14, 2007

Introduction
El prop´sito de este sencillo ejercicio es el de familiarizar al estudiante con
o
alguna terminolog´ del control procesos, la obtenci´n de modelos din´micos y
ıa
o
a
su simulaci´n mediante MatLab.
o
Un sistema es una entidad material formada por partes organizadas (o sus ”componentes”) queinteract´an entre s´ de manera que las propiedades del conjunto,
u
ı
sin contradecirlas, no pueden deducirse por completo de las propiedades de las
partes.
Los sistemas reales intercambian con su entorno energ´ informaci´n y, en la
ıa,
o
mayor parte de los casos, tambi´n materia. Como un ejemplo de sistema, consie
deremos el proceso de nivel de un tanque de almacenamiento de fluido indicadoen la 1.
Qi
(1)

¡¡¡¡¡¡¡¡ 
               
¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡
                           
¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ 
¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ 
¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ 
                 
¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡ 
¡¡¡¡¡¡¡¡  
                 
¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡
¡¡¡¡¡¡¡¡  
                     

h

Qo

(2)

A

l

D

Figura 1: Proceso de Nivel de un tanque.
En el sistema de la figura 1 se distingue:
qi , qo : Caudal o flujovolum´trico, que expresa el cambio de volumen del fluido
e
por unidad de tiempo. Los sub´
ındices i y o denotan entrada y salida respectivamente. qi es conocido y qo es desconocido.
h: Es el nivel del l´
ıquido en el tanque.
D: Es el di´metro del tubo de salida.
a
S: Es el area de la secci´n del tubo de salida.
´
o
1

ρ: Es la densidad del l´
ıquido.
A: Es el area de la secci´n del tanque.
´o
l: Longitud del tubo en la salida.
En este proceso se desea obtener un modelo din´mico del nivel en el tanque. Un
a
modelo din´mico expresa c´mo es el cambio de una variable f´
a
o
ısica (en este caso
el nivel) en funci´n del tiempo. Para ello es necesario acudir al conocimiento de
o
las leyes f´
ısicas que gobiernan el proceso. El contenido del resto de este art´
ıculo
es comosigue. En la secci´n 1 se describir´ la obtenci´n del modelo din´mico del
o
a
o
a
sistema a partir de leyes f´
ısicas b´sicas. En la secci´n 2 se describir´ el proceso
a
o
a
de simulaci´n de este sistema en MatLab.
o

1.

Modelo din´mico del nivel
a

Dos de las leyes f´
ısicas m´s utilizadas en la obtenci´n de un modelo din´mico
a
o
a
de un sistema son las leyes de balance demasa y balance de la energ´
ıa.

1.1.

Balance de masa

Se puede expresar la ley de balance de masa como:
Velocidad de acumulaci´n
o
Flujo de masa que
Flujo de masa que
=
−
de la masa en el sistema
entra al sistema
sale del sistema
Lo anterior matem´ticamente se describe como,
a
dm
= ρ 1 qi − ρ 2 qo
(1)
dt
Ya que no hay cambio de densidad del l´
ıquido durante el proceso, ρ1= ρ2 = ρ.
La masa acumulada en el tanque puede calcularse como m = ρV , siendo V =
A.h(t) el volumen del l´
ıquido almacenado (note que h es funci´n del tiempo).
o
Luego,
dh(t)
dm
=A
= qi − qo
(2)
dt
dt
La ecuaci´n (2) describe la din´mica del nivel h(t). Ya que qi es conocido y es la
o
a
entrada del sistema, solo hace falta conocer una relaci´n para qo . Esta relaci´n
o
o
lapodemos establecer mediante un balance de energ´
ıa.

1.2.

Balance de energ´
ıa

Se puede expresar la ley de balance de energ´ como:
ıa
Velocidad de acumulaci´n
o
energ´ en el sistema
ıa

=

Flujo de energ´
ıa
Flujo de energ´
ıa
−
que entra al sistema
que sale del sistema

Lo anterior matem´ticamente se describe como,
a
dE1
dE2
dE
=
−
dt
dt
dt
2

(3)

Dondeel sub´
ındice 1 y 2 indican los valores en los puntos (1) y (2) en la figura
1. La energ´ en este sistema particular est´ comprendida por la energ´ cin´tica
ıa
a
ıa
e
1
K = 2 mv 2 y Φ = mgz, siendo z el nivel sobre la referencia.
La ecuaci´n de balance de energ´ (3)en el sistema de nivel del tanque eno
ıa
tonces es:
1
2
d( 1 mv 2 + mgz1 ) d( 2 mv2 + mgz2 )
dE
= 2 1
−
dt
dt
dt...