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Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon)

Hablamos de muestreo periódico de una señal analógica cuando tomamos mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se grabauna señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz, denominada frecuencia de muestreo.Es evidente que si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán “detalles” de la señal original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver.En las figuras A-B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A y B las señalesaparecen correctamente representadas por las muestras, en C la velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D las muestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un “alias” dela señal de B. Este efecto se denomina en inglés “aliasing”.


El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el“aliasing” debe ser.

fm>2.BW

con fm: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear (BW=fmax-fmin)
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como

fm>2.fmax

Para demostrareste teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y trigonometría.



Conceptos básicos de series de fourier:

Una función s(t) periódica en el tiempo, con período T, puede serrepresentada por una sumatoria de funciones senoidales del tipo
s(t)=c0+c1.cos(2..f.t+1)+ c2.cos(2..2.f.t+2)+ c3.cos(2..3.f.t+3)+...+ cn.cos(2..n.f.t+n)
=ck.cos(2..k.f.t+k)(k=0...n) [Ec. 1]
es decir una serie de componentes cosenoidales de amplitud ck, fase k y frecuencia fk=k.f múltiplo de la frecuencia fundamental f=1/T (la de la función representada). Es la...