CONTROL

Lugar de las raíces

Lugar de las raíces

Los polos de lazo abierto de un sistema representan características
propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique
el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.

Lugar de las raíces
Sistema de primer orden ante una entrada escalón:
Step Response
From: U(1)

Respuesta

1.2

1

To: Y(1)

Amplitude

7s5

1.4

1.4

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec.)

No
cambia
el
tiempo
de
respuesta, solo la
amplitud.

Step Response
From: U(1)

5.6

5

To: Y(1)

4

Amplitude

4

7
s5

6

3

2

1

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec.)

Step Response

1.4

From: U(1)

El tiempo de
respuestacambia,
Solo agregando
otra dinámica.

1.4

To: Y(1)

0.7
Amplitude

1
s2

7
s5

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

0.5

1

1.5

Time (sec.)

2

2.5

3

Lugar de las raíces
Por otra parte
Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la
naturaleza del sistema.
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Lascaracterísticas de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están
íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
Entonces:
• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de
salida sin alterar su naturaleza.
• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables)
utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simpleganancia.

veamos un ejemplo…

Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado

R(s)
+

-

K
s ( s  7)

B(s)

C (s)

En lazo cerrado

C ( s)
K

R ( s ) s ( s  7)  K
La ecuación característica es

s 2  7s  K  0
En lazo abierto

B( s)
K

E ( s ) s ( s  7)
Polos de lazo abierto:

s  0, s  7

Las raíces de la ecuación característica
son los polos delazo cerrado (p.l.c)

s12  3.5  12.25  K
y dependen del valor de K

Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:

polos de lazo cerrado

K

s  6.98568

s  0.014314

1

s  6.8541

s  0.1459

10

s  5

s  2

s  3.5
s  3.5  j1.5

s  3.5
s  3.5  j1.5

0.1

12.25
14.5

25
112.25

s  3.5  j3.5707 s  3.5  j3.5707
s  3.5 j10

s  3.5  j10

Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente

Lugar de las raíces
La ubicación de estas raíces en el plano s

K  112.25

K  0.1

Saltar
gráficas

Lugar de las raíces

C ( s)
0.1
 2
R( s) s  7 s  0.1

p.l.c

s1  6.98568 s2  0.014314

Lugar de las raíces

C ( s)
1
 2
R( s) s  7 s  1

p.l.c

s1 6.8541

s2  0.01459

Lugar de las raíces

C ( s)
10
 2
R( s) s  7 s  10

p.l.c

s1  5

s2  2

Lugar de las raíces

C ( s)
12.25
 2
R( s) s  7 s  12.25

p.l.c

s1  3.5

s2  3.5

Lugar de las raíces

C ( s)
25
 2
R( s) s  7 s  25

p.l.c s1  3.5  j3.5707 s2  3.5  j3.5707

Lugar de las raíces

C ( s)
112.25
 2
R( s) s  7 s  112.25p.l.c

s1  3.5  j10

s2  3.5  j10

Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El
lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:

Variando el valor de la
ganancia K, se tiene
acceso a cualquier
valor de polos de lazo
cerrado (región verdeazul).
Otro valor fuera de esa
región, no es posibleobtenerlo solamente
con el cambio de K

Lugar de las raíces
Definición:
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la
ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro
parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto
GH(s):
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica

1  G( s) H ( s)...