Convoluciones Discretas
Ejemplos de cálculo gráfico
Ingeniería de Telecomunicación
Universidad de Valladolid
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
Sistemas Lineales
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Contenidos
1
Convoluciones discretas
Definición y Propiedades
Ejemplos
2
Convoluciones continuas
Definición y Propiedades
Ejemplos
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)Sistemas Lineales
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Convolución discreta. Definición y propiedades
Definición
y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =
∞
−∞
x [k ]h [n − k ]
Propiedades
Elemento neutro: x [n] ∗ δ [n] = x [n]
Conmutativa: x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n]
Asociativa:
x [n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) = (x [n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = (x [n] ∗ h2 [n]) ∗ h1 [n] = x [n] ∗ h1 [n] ∗ h2 [n]
Distributiva: x [n] ∗ (h1 [n]+ h2 [n]) = x [n] ∗ h1 [n] + x [n] ∗ h2 [n]
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
Sistemas Lineales
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 1
x [n ] =
1
δ [n ]
2
y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =
+ 2δ [n − 1]
h[n] = u [n] − u [n − 3]
∞
k =−∞
x [k ]h [n − k ]
x [k ]
h [k ]
2
1
1
2
−2 −1
k
k
0
1
2
3
4
−2 −1
5
0
1
23
4
h [n − k ]
k
n−2
y [n ]
5
2
• n < 0 , y [n ] = 0
• n = 0, y [0] =
n
n−1
• n = 1, y [1] =
• n = 2, y [2] =
2
• n = 3, y [3] =
1
2
−2 −1
n
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
1
2
3
4
∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞
x[k]h[0 − k] = x[0]h[0] =
1
2
x[k]h[1 − k] = x[0]h[1] + x[1]h[0] =
5
2
x[k]h[2 − k] = x[0]h[2] +x[1]h[1] =
5
2
x[k]h[3 − k] = x[1]h[2] = 2
• n > 3 , y [n ] = 0
5
Sistemas Lineales
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 2
∞
y [n ] = x [n ] ∗ h [ n ] =
n
x [k ]h [n − k ]
k =−∞
x [n ] = α u [n ],
α = β,
h [n ] = β n u [n ],
0 < α, β < 1.
∞
=
k
α u [ k ]β
n −k
u [n − k ] =
k =−∞
u [n − k ].
βk
···
1
n−k
h[k ]
αk
0
k
αβ
k =0
x[k]
−2 −1
∞
2
3
4
5
···
k
−1
6
0
1
2
3
4
5
6
k
7
h [n − k ]
β (n−k)
k
···
n
• n < 0, y [n] = 0
y [n ]
• n ≥ 0, y [n] =
y [n ] =
n
P
αk β n−k =
k=0
β n+1 −αn+1
β −α
β n+1 − αn+1
u [n ]
β−α
··· n
−2 −1
0
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
1
2
3
45
6
7
8
Sistemas Lineales
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 3
x [n ] =
1,
0,
0≤n≤4
,
resto
h [n ] =
αn ,
0,
0≤n≤6
resto
y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =
∞
k =−∞
x [k ]h [n − k ]
x[k]
h [k ]
αk
1
k
−2 −1
0
1
2
3
4
k
−1
5
0
1
2
3
4
5
6
7
h [n − k ]
α(n−k)
• n < 0, y [n] = 0
nP n−k
n+1
α
= 1− α α
• 0 ≤ n ≤ 4, y [n] =
1−
(
k=0
4
P n−k
n− 4
n>4
−αn+1
α
= α 1− α
⇒ 4 < n ≤ 6, y [n] =
•
n−6≤0
k=0
(
4
P
n− 4
7
n−6>0
αn−k = α 1−−α
⇒ 6 < n ≤ 10, y [n] =
•
α
n−6≤4
k=n−6
k
n−6
n
y [n ]
• n − 6 > 4 ⇒ n > 10, y [n] = 0
n
−2 −1
0
1
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
2
3
4
5
6
7
8
5
Sistemas Lineales7 / 15
Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 4
∞
y [n ] = x [n ] ∗ h [n ] =
x [n] = 2n u [−n]
k =−∞
h [n ] = u [n ]
x [k ]h [n − k ]
h [k ]
x[k]
1
k
2
···
k
k
···
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
h [n − k ]
−2 −1
3
0
1
2
3
4
5
1
···
k
n
0
y [n ]
2
• n < 0, y [n] =
1
1
16
1
8
1
4
···
12
···
−5 −4 −3 −2 −1
M.Á. Martín Fernández (ETSI Telecom.)
• n ≥ 0, y [n] =
n
P
k=−∞
0
P
2k = 2n+1
2k = 2
k=−∞
n
0
1
2
3
4
Sistemas Lineales
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Convolución discreta. Ejemplos
Ejemplo 5
1, 0 ≤ n ≤ 5
,
0, resto
x [n ] =
x [k ]
h [k ]
1
1
k
0
5
0
k
2
7
11
16
x [n − k ]
• n < 2 , y [n ] = 0
n
•...
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