Coordenadas Generalizadas

Capítulo 7

Dinámica analítica
La dinámica analítica comprende una serie de métodos cuya característica principal es el tratamiento puramente abstracto, analítico, de los sistemas mecánicos. De esta forma, se separan al máximo las consideraciones
físicas y geométricas necesarias para definir el movimiento, de las puramente matemáticas para plantear y solucionar las ecuaciones. Las primerasson
necesarias para formular las coordenadas, enlaces y magnitudes cinéticas
de un sistema dado; una vez realizada definición de un sistema mediante la
adecuada selección de las magnitudes anteriores, los métodos de la mecánica
analítica permiten obtener las ecuaciones de la dinámica (o las condiciones
de la estática en su caso) de forma casi automática.
El iniciador de estas técnicas fueJoseph Louis Lagrange, a partir de la
publicación de su obra Mécanique Analytique1 en 1788. Lagrange introdujo
numerosos conceptos empleados hoy día en la mecánica y en las matemáticas: formuló las ecuaciones que llevan su nombre para la dinámica; colocó
sobre bases sólidas el cálculo de variaciones; fue el inventor de las palabras
derivada y potencial; etc.
Otra figura clave en la mecánicaanalítica fue William Rowan Hamilton,
ya en el siglo XIX (1805-1865). En su obra buscó una gran generalidad,
desarrollando una teoría por la que el movimiento se puede reducir a la
«búsqueda y diferenciación de una sóla función» (la integral de la acción
S). El punto de vista de Hamilton resultó muy fértil, resultando básico para
otros campos como la mecánica cuántica, desarrollada posteriormenteen el
siglo XX.
1

En ella, Lagrange se vanagloriaba de que no había ninguna figura, como botón de
muestra de que los métodos propuestos estaban libres de casuística geométrica o topológica.

7.1

7.2

7.1.

Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA

Coordenadas generalizadas

Un planteamiento básico de la mecánica analítica es la descripción de
los sistemas mediante «coordenadasgeneralizadas».
Definición: Se denominan coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros {qi , i = 1, 2, . . . , n}, que sirven para determinar de
manera unívoca la configuración del sistema.
Estos parámetros en principio pueden ser cualesquiera, sin necesitar ser
homogéneos en cuanto a dimensiones. Por ejemplo, se pueden mezclar longitudes, ángulos, etc. Una idea clave, subyacente enla elección de coordenadas
generalizadas, es que éstas pueden englobar en su propia elección los enlaces
del sistema (todos o al menos una parte de ellos). De esta forma se consigue
una doble ventaja: por una parte, el número de parámetros es menor que
el correspondiente directamente a las coordenadas de todas las partículas.
Por otra, el número de ecuaciones de enlace se ve igualmentereducido.
Un conjunto de coordenadas {qi } se denomina «libre» cuando se pueden
variar de forma independiente entre sí; es decir, si las variaciones de las
mismas, {δqi }, se pueden escoger de forma arbitraria. Caso de que no sea
así, será porque existe alguna ligadura que relacione dichas coordenadas,
bien de tipo holónomo o no holónomo.
Cuando las coordenadas generalizadas no sean libres, sedeberá a que
subsisten condiciones de enlace formuladas de manera explícita. Estas se
traducirán en relaciones entre las qi (y también sus derivadas qi para enlaces
˙
no holónomos). Debido a estas ligaduras el número de grados de libertad es
en realidad menor que n. Por el contrario, si las coordenadas son libres, su
número es precisamente el número de grados de libertad del sistema.
Porejemplo, en el sistema plano rígido de la figura 7.1, al tener una
articulación, basta con una única coordenada angular (n = 1; q1 ≡ θ).
En esta elección ya quedan englobados implícitamente los enlaces, tanto
los internos (ligaduras de sólido rígido) como los externos (articulación). El
sistema tiene un grado de libertad.
Supongamos ahora el caso general de un sistema con un número finito
de...