cordenadas curvilineas

COORDENADAS CURVILINEAS
COORDENADAS POLARES.-
En sistema de coordenadas polares, un punto del plano se describe por: P (r, ϴ); LAS COORDENADAS POLARES son:
r y ϴ donde r es la distancia del punto p hacia un punto fijo (llamado polo u origen),ϴ es el ángulo de esa distancia respecto de un recta fija que se inicia en el polo (eje polar).






EJEMPLO.-
Se ubica el punto P1 (4,30°) enla gráfica adjunta:
El punto P1 se encuentra en una distancia de 4, respecto del polo u origen con un ángulo de 30° respecto al eje polar el ángulo inicialmente se expresa en grados sexagesimales (30°) lo que es equivalente a π/6 radianes.






Cuando se trabaja con coordenadas polares se emplean los llamados mapas polares, donde mediante circunferencias concéntricas se tiene lasreferencias sobre la distancia (r) a partir del polo u origen y algunos ángulos notables a partir del eje polar.



EJEMPLO.-
Sobre un mapa polar se ubican los puntos: P1 (4,30®) P2 (3,60®) P3 (2, π∕2®) P4 (4,150®) P5 (2,-180®) P6 (3,-120®) P7 (-4,90®) P8 (-3,-210®)







La escala indicada en el eje polar se aplica a los puntos en la dirección del Angulo correspondiente. Note que paraángulos negativos, se debe recorrer en sentido de las agujas del reloj, buscando su equivalente (-120®=240®)
Para distancias (r) negativas se retrocede a partir del polo en la dirección opuesta al ángulo correspondiente al punto. (En P7, a partir del polo se sitúa 4 en la dirección opuesta del ángulo de 90®). La relación de puntos del plano a coordenadas polares no es biunívoca (como en lascartesianas), ya que infinitos pares de coordenadas pueden describir al mismo punto, debido a que un ángulo se reitera cada 360® (2π Rad), además una distancia negativa puede asumirse como como una dirección adicional de 180® (π Rad).
Por ejemplo el punto P1 (4,30®), puede expresarse también como (4,390®), (4,-330®), (-4,210®)
En realidad todo punto puede expresarse por infinitos pares de coordenadaspolares.
RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS
Para referir las coordenadas polares a cartesianas rectangulares se hace coincidir el polo con el origen y el eje polar con el semieje positivo de las abscisas.





De acuerdo a la grafica se cumplen las relaciones:
Relaciones de coordenadas polares a cartesianas.
X= r Cos θ =X (r, θ)
Y= r Sen θ =Y(r, θ)
Relaciones decoordenadas cartesianas a polares.
r= √x²+y²=r(x, y)
θ= Arc Tan y ∕ x = θ (x, y)
ECUACIONES GRAFICAS Y POLARES
Una ecuación en coordenada, es una ecuación que contiene a las coordenadas polares (r, θ) como variables. Estas ecuaciones pueden transformarse en cartesianas, por las respectivas relaciones.
Una gráfica en coordenadas polares, es el conjunto de todos los puntos, que poseen al menos un par(r, θ) que satisfacen a una ecuación en coordenadas polares.
Para graficar la ecuación en coordenadas, se elabora la tabla de puntos adjunta
θ
θ
r
0®
0
8
30®
π/6
6.924
60®
2π/6
4
90®
3π/6
0
120®
4π/6
-4
150®
5π/6
-6.92
180®
Π
-8
210®
7π/6
-6.92
240®
8π/6
-4
270®
9π/6
0
300®
10π/6
4
330®
11π/6
6.92
360®
2π
3


El ángulo esta engrados sexagesimales y radianes. La grafica es una doble circunferencia
r= 8 Cos θ


Transformando a cartesianas:
r= 8 Cos θ= 8 x/r
r²= 8x →x²+y²= 8x
(x-4)²+y²=4²
LA RECTA EN POLARES
Determinando le ecuación de la recta a partir de la gráfica donde p es la mínima distancia de la recta al polo u origen. α es el ángulo de esa distancia con respecto al eje polar (r, θ) pertenecen a la recta.

Cos(θ-α)=p/r →rCos(θ-aα=p
r Cos θ Cos α+ r Sen θ Sen α=p
x cos α+ y Sen α-p=0
Ax +By + C =0
LA CIRCUNFERENCIA EN POLARES
Se determina la ecuación de circunferencia en coordenadas polares a partir de la gráfica donde el centro es: C (c, α), el radio es R






Por el teorema del coseno, tomando(r, α) como un punto que pertenece a la circunferencia
r²+c²-2rc Cos(θ-α)=0...