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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERIA
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INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES

Gu´ de Ejercicios
ıa
1. Pruebe que las siguientes funciones son de orden exponencial y encuentre sus transformadas
de Laplace por definici´n:
o
(a) f (t) = tn senh(at).
(b) f (t) = tet cos(t).
(c) f (t) = e−t Pab (t), con a ≤ b.
(d) f (t) = tP01 (t) + H(t − 1).
(e) f (t) = (t+ a)P−a0 (t) + (a − t)P0a (t), con a > 0.
2. Determine si existe una funci´n g : [0, ∞) → R de orden exponencial y continua por pedazos
o
tal que
1
.
L(g)(s) = 2
(s + 1)1/4
3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´n que se obtiene al expandir peri´dicamente,
o
o
con periodo 1, la funci´n f (t) = t, 0 ≤ t < 1.
o
4. La funci´n gamma Γ(x) se define como
o
∞

e−t tx−1 dt.Γ(x) =
0

(a) Verifique que la integral converge para todo x > 0.
(b) Usando integraci´n por partes, pruebe que Γ(x + 1) = xΓ(x) para todo x > 0.
o
(c) Deduzca que Γ(n + 1) = n! si n ∈ N.
(d) Sea α > −1. Demuestre que
L(tα )(s) =

Γ(α + 1)
.
sα+1

(Hint: Hacer t = us en la integral que define la funci´n Γ).
o
5. Suponga que f es continua por pedazos y de orden exponencial tal que f (0)= 0 y es
soluci´n de la ecuaci´n integro-diferencial
o
o
t

f (t − β) cos(β)dβ.

f (t) = sen(t) +
0

Aplicando transformada de Laplace, determine la funci´n f .
o
6. Sea a > 0, n ∈ N. Denotaremos por Ln = L(senn (at)). Queremos calcular Ln , para cada
n ∈ N.
(a) Calcular L1 y L2 .
(b) Pruebe que Ln = Ln−2 − L(senn−2 (at) cos2 (at)) para cada n ≥ 3.

1

(c) Muestre queL(senn−2 (at) cos2 (at))(s) = (

s2
1
+
)Ln ,
2 n(n − 1)
a
n−1

para cada n ≥ 3. (Hint: Integrar por partes identificando derivadas de senn−1 (at) y
senn (at)).
(d) Deduzca que Ln =

a2 n(n−1)
s2 +a2 n2 Ln−2

si n ≥ 3 y escriba una f´rmula cerrada para Ln .
o

(e) Encuentre una f´rmula de convoluci´n para senn (at) en funci´n de senn−2 (at).
o
o
o
7. Dada una funci´n y ∈ C([0, 1]),definimos su Transformada Mellin en s > 0 mediante:
o
1

xs−1 y(x)dx,

M [y](s) =
0

cuando este l´
ımite exista.
(a) Demuestre que M [1] =

1
s

y que M [xa y](s) = M [y](s + a) para cada a ∈ R.

(b) Suponga que para cada s > 0 la funci´n y satisface
o
lim xs y(x) = 0.

x→0+

Demuestre que M [xy ] = −sM [y] + y(1).
(c) Defina z(x) =

1 y(u)
du.
x u

Use la parteanterior para demostrar que M [z] = 1 M [y].
s

(d) Resuelva la siguiente EDO usando la transformada de Mellin y las propiedades demostradas en los puntos anteriores:
x(xy ) + 2xy = 1, y(1) = 0, y (1) = 0.
(Hint: Puede asumir que si M [f ] = M [g] entonces f = g.)
8. Sean n ∈ N \ {0} y ω = 0. Use la transformada de Laplace para probar la igualdad:
ω n+1
t
∗ cos(ωt).
n+1

tn ∗ sen(ωt) =(Hint: Le puede ayudar el Teorema de Lerch.)
9. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales:
(a)
(b)
(c)

∞ 1 −t
(e − e−3t )dt. rpta: ln(3).
0 t
√
∞ −t2
e dt. rpta: π/2.
0
t
∞
t(1 − e− 2 + e−2t ) cos(t)dt. rpta:
0

−2/5.

10. Usando transformada de Laplace encuentre una soluci´n no nula de los siguientes problemas
o
de valor inicial:
(a)

ty + (t −1)y + y = 0
y(0) = 0.

(b)

y + ty − 3y = 0
y(0) = 0, y (0) = 1.

(c)

ty + 4y + 9ty = cos(3t), t > 0
y(0) = 0, y (0) = 1/4.

2

(d)

ty − 2y + ty = f (t)
con f (t) =
y(0) = 0, y( π ) = 0,
2

(Hint: Recuerde que

dn
ds F (s)

11. Calcule L−1 arctan
12. Determine L−1

(s2

3
s+2

−sen(t), 0 ≤ t < π
− cos(t), t ≥ π.

= (−1)n L(tn f (t))(s) donde F (s) = L(f)(s)).

.

1
+ k 2 )2

usando la f´rmula de convoluci´n.
o
o

13. Hallar, usando convoluci´n, la transformada inversa de Laplace de F (s) =
o

1
(s2 +4s+13)2 .

14. Resuelva las siguientes ecuaciones usando la transformada de Laplace:
(a) t2 y − 2y = 2.
(b) ty − 2y + ty = 0, y(0) = 0.
(c) y + 2y + y = f (t), y(0) = 0, y (0) = 0.
(d) y + 4y = e−2t , y(0) = 0, y (0) = 1.
(e) y...