cosas

Muchas veces los caricaturistas utilizan transformaciones lineales para lograr movimientos en sus dibujos. Por ejemplo, supóngase que se desea hacer un deslizamiento en la dirección del eje x, del ciclista que se muestra a la izquierda en la siguiente figura. Basta con multiplicar los puntos por la matriz M, para obtener la imagen de la derecha. Transformacion lineal:

Idea para laintroduccion:

en esta unidad abordaremos una clase especial de funciones que ocurren con mucha frecuencia en algebra lineal y en otras ramas de la matematica denominada transformaciones lineales, las definiremos y estudiaremos algunas de sus propiedades y ejemplos

1.-Definicion:
Es una funcion entre espacios vectoriales,es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para señalaruna transformacion lineal usamos F(v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actuan sobre un mismo campo, en algebra se utiliza mayormente para representar ecuaciones

Ejemplos: (Trabajos Pdf, Revisar)

2.-Teorema fundamental de la transformacion lineal

Sea B=(V1,V2,V3...Vn) base de V y C=(W1.W2,W3...Wn) un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existeuna unica transformacion lineal T:V-->W que satisface:

T(Vi)=Wi, (A al revez) 1(menor igual) i (menor igual) n

3.-Clasificacion de las transformaciones lineales

*Las transformaciones lineales inyectivas se llaman transformaciones regulares
*Las biyectivas se llaman isomorficas. Si existe un isomorfismo de U en V se dice que dichos espacios son isomorfos.
*Las transformaciones lineales deun espacio U en si mismos se llaman endomorfismos, y el espacio vectorial de los endomorfismos de U se designan por L (U)
*Las transformaciones lineales biyectivas sobre U se llaman automorfismos
*LAs transformaciones lineales de U en K se llaman funciones o formas lineales y el espacio de las funciones lineales definidas en U se designa L(U)

Por Ejemplo:

verifica que la transformacionT:R^2 --> R^3 tal que T(x,y)=(x+y,y-x), es una transformacion lineal

Verificamos las condiciones:

Sean U1=(x,y), U2=(p,q) (e) R^2, entonces:

T(U1+U2)=T(x+p,y+q)=>[(x+p)+(y+q), (y+q), (x+p)-(y+q)]=> [(x+y)+(p+q),y+q,(x-y)+(p-q)]=> [(x+y,y,x-y)+(p+q,q,p-q)=T(x,y)+T(p,q)=> T(U1)+T(U2).

Sean U=(x,y), (e) R^2 , k (e) R, entonces:

T(KU)= T(Kx,Ky) =(Kx+Ky,Ky,Kx-Ky)=K(x+y,y,x-y)=KT(x,y)=K(TU)

Asi T es una transformacion lineal

4.-Nucleo de una transformacion lineal

Sea L:-->W una transformacion lineal, entonces el nucleo de L denotado N(L), es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos v(e)V, tales que sus imagenes son iguales a 0. Asi: N(L)={v(e)V/L(v)=0(e)W}

*Teorema: Sea L:-->W una transformacion lineal, entonces se cumple que: El nucleo de L es unsubespacio vectorial de V.

5.-Imagen de la transformacion lineal

Sea T: V --> W una transformación lineal.
Se llama imagen de T ( Im (T)) al conjunto de vectores y e W tales que existe x e V con T (x) = y.

Ejemplo: Ver imagen de la recta

La imagen de esta transformación es una recta. ¿Cómo podemos obtener su ecuación?

Sabemos que (0, 0) es un punto de la recta, porque siempre 0W pertenecea la imagen de una transformación lineal. Para obtener las coordenadas de otro punto:

T2 (1, 1) = (1 + 1, - 1 - 1) = (2, -2)

Entonces la ecuación de la recta es: y = -x, e Im (T2) = { (x, y) / y = - x}.

Analíticamente:

Im (T2) = { y e R2 / " x e R2 : T2 (x) = y }

Si y = (y1, y2) = T2 (x1, x2) = (x1 + x2, - x1 - x2),

entonces: x1 + x2 = y1; - x1 - x2 = y2 . Así, y1 = -y2 y Im(T2) = { y e R2 / y1 = -y2 }

*Propiedades

ü Si T: V -->W es una transformación lineal, Im (T) es un subespacio de W.

ü Sea T: V --> W una transformación lineal. T es suryectiva (o sobreyectiva) si y sólo si Im (T) = W.

ü Sea T: V -->W una transformación lineal y sean v1, ..., vn e V. Si T (v1), ..., T (vn) son linealmente independientes en W, entonces v1, ..., vn son linealmente...