Cotas de polinomios

COTAS PARA LAS RAÍCES REALES DE UN POLINOMIO

Si P(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales tal que
P(x) = a0 + a1 x + a2x2 +… +anxn Con an > 0 y sea K > 0
Entonces:
1. Si latercera fila de la división sintética con K como pivote no tiene números negativos, entonces K es una cota superior de las raíces reales de P(x)

Ejemplo:

i).- sea P(x) = 4x4 – 12x3 + 17x2 – 24x+ 18 y K = 3

Por lo tanto K=3 es cota superior de las raíces del P(x); ya que el tercer nivel de la tabla no tiene cambios de signos y además x =3 no es raíz del polinomio.

ii).- SeaP(x) = 4x3 + 3x2 - 5x + 2 y K= 3

Por lo tanto K=3 es cota superior de las raíces del P(x); ya que el tercer nivel de la tabla no tiene cambios de signos y además x =3 no es raíz delpolinomio.

iii).- Sea P(x) = x3 + 4x2 – 10 y K = 2

Por lo tanto K = 2 es una cota superior de las raíces del P(x); ya que el tercer nivel de la tabla no tiene cambios de signos yademás x = 2 no es raíz del polinomio.

2. Si la tercera fila de la división sintética con (-K) como pivote tiene números positivos y negativos alternadamente; entonces (-K) es una cota inferiorde las raíces del P(x).

Por ejemplo:

i).- Sea P(x) = x5 – 3x4 + 8x2 – 2 y K = -2

Por lo tanto (K = -2) es una cota inferior de las raíces de P(x); ya que el tercer nivelde la tabla tiene signos alternados y además x = -2 no es raíz.

ii).- Sea P(x) = 2x4 + 5x3 - 2x - 8 y K=-3

Por lo tanto (K = -3) es una cota inferior de las raíces de P(x); yaque el tercer nivel de la tabla tiene signos alternados y además x = -3 no es raíz.

iii).- Sea P(x)= x3 + 4x2 – 10 y K= -5

Por lo tanto (K = -5) es una cota inferior de las raíces deP(x); ya que el tercer nivel de la tabla tiene signos alternados y además x = -5 no es raíz.

Nota: El numero 0 en la tercera fila puede ser considerado positivo o negativo según lo convenga...