Covarianza

Covarianza y correlación



Valor Esperado con variables aleatorias bidimensionales.
 Sea (x,y) una variable aleatoria bidimensional y sea Z =U(x,y) una función que depende de X e Y.Entonces definimos el valor esperado de Z como
[pic]
 Ejemplo Un examen consiste en 2 partes
Sea X = puntaje obtenido en la primera parte
Rx = {0, 5, 10}
Y = puntaje obtenido en lasegunda parte
Ry = {0, 5, 10}
 Con función de probabilidad conjunta dada en la tabla de abajo.
a)¿Cuál es el valor esperado del puntaje en la primera parte?
b) Cual es el promedio total? 
|  |X |
|Y |  |0 |5 |10 |  |
| |0 |0.1 |0.5 |0.15 |0.3 |
| |5 |0.05 |0.1 |0.05 |0.2 |
| |10 |0.1 |0.15|0.25 |0.5 |
| |  |0.25 |0.3 |0.45 |  |


 
 









 a)
[pic]
b)
       [pic]
Ejemplo: Sea (x,y) una v.abidimensional continua distribuida uniformemente en la región
[pic]
 Hallar E(x)
a. E(X+Y)
b. E(XY)
| |
| |[pic]|


 


    
           
 [pic]
 [pic]
 c. [pic]

Propiedades del valor esperado
1.
[pic]
2. Sea (x,y) en v.a binomial y Z = U1(x,y) y W = U2(x,y)entonces el valor esperado de Z+W
E(Z+W)=E(Z)+E(W)=E(U1(x,y))+E(U2(x,y))
 3.                   si (x,y) es una v.a bid y X e Y son independientes E(xy)=E(x)E(y)

Definición: La covarianza existe paradeterminar el grado de asociación o relación entre X e Y y se define como:
Cov(x,y) = E{(x-E(x))(Y-E(y))}=[pic] o también
Cov(x,y)=E(xy)-E(xy)-E(x)E(y)
 Si las dos variables son independientescov(x,y)=0 pero si la cov (x,y) =0 no quiere decir x e Y sean independientes
Propiedades de la covarianza:
  i.                     cov (ax,bx) =ab cov (x,y)
ii.                   cov...