cristales fotonicos

Cristales fotónicos

Potencial periódico, que da lugar a las bandas prohibidas para
la propagación de los electrones en un cristal semiconductor.

Una onda atravesando un medio con propiedades
periódicas, puede ser totalmente refractada

La luz puede presentar bandas de energía
prohibidas al atravesar un medio con
propiedades dieléctricas periódicas

Cálculo de estructuras debandas en cristales
fotónicos – Primeros inconvenientes
• Los primeros cálculos de BEP en
cristales fotónicos los realizaron
científicos especializados en el cálculo
de las estructuras de bandas
electrónicas, quienes se centraron en la
utilización del método de ondas planas.
• Los primeros resultados obtenidos
predecían BEP en rangos del espectro
de frecuencias en donde los resultadosexperimentales estaban en desacuerdo.

Generalización del método hacia una
teoría de campo vectorial
Ese desacuerdo entre los resultados teóricos y los
experimentales surgió debido a que se estaba utilizando
para la resolución del problema, una teoría de campo
escalar, adecuada para el caso de los electrones, más no
para el caso de los fotones.
Por lo cual, para la correcta resolución delproblema, debe
generalizarse el método de ondas planas, para contemplar
el caso de la luz, incorporando al método una teoría de
campo vectorial.
Esta diferencia es lógica si pensamos que por un lado
estamos resolviendo la ecuación de Schrödinger del
electrón, lo cual nos da como resultado una función de
onda asociada a la partícula. En cambio, en el caso de los
cristales fotónicos, lo que seestá resolviendo es la ecuación
de Maxwell, obteniendo como resultado una solución
vectorial del campo electromagnético

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Partiendo del supuesto de que la constante dieléctrica del
material es periódica, lo cual puede expresarse diciendo
que toma el valor ε2 entre –a/2 y a/2 y el valor ε1 para
a/2 < |x| < b, es decir, utilizando la función

Luego,como ε(x) representa una función periódica en la
variable x, podemos expresarla a partir de su serie de
Fourier, en la forma

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Sin embargo, por simplicidad a la hora de los
cálculos, nos conviene utilizar la función

Podemos simplificar un poco más la expresión, si llamamos

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Donde Gx no es más que unvector de la red recíproca.
Con esa definición, la función Г(x) la podemos expresar como

Si consideramos el caso propuesto para la constante
dieléctrica, entonces los coeficientes de Fourier de la
serie están dados por

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Ya teniendo una representación en serie del inverso de la
función de la constante dieléctrica, podemos resolver la
ecuación deonda para el sistema

Dada dicha ecuación diferencial podemos proponer una
solución para el campo eléctrico similar a la propuesta
para la función de onda del electrón al resolver la
ecuación de Schrödinger en un semiconductor

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Aplicando el teorema de Bloch para las funciones propias
del sistema podemos expresar la parte espacial como

y laparte temporal como

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D

Reemplazando todo lo obtenido en la ecuación
de Maxwell obtenemos

donde por simplicidad se han eliminado el término
dependiente exclusivamente del tiempo y la exponencial
dependiente del parámetro k.

Cálculo de la estructura de bandas en 1-D
Mutliplicando ambos miembros de la ecuación anterior por
eiG ''x y luegointegrando sobre la distancia correspondiente a
una celda unitaria, eliminamos las exponenciales complejas
debido a que la integración se realiza justamente sobre un
periodo de dichas funciones, con lo cual, solo sobreviven en el
miembro de la izquierda los términos que satisfacen que
x

De igual forma, en el miembro de la derecha solo
sobrevive el termino que satisface que

Cálculo de la...