tesis

Contenido
Introducci´n
o

v

1 Funciones Cardinales
1.1 Funciones cardinales topol´gicas . . . . . . . . . . .
o
1.2 El teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery . . .
2

1
1
19

Teor´ de Reflejo
ıa
23
2.1 Hechos b´sicos de la teor´ de ref lejo . . . . . . . . 24
a
ıa
2.2 Teoremas de reflejo para c, e, s, L y d . . . . . . . 31
2.3 Teoremas de reflejo para w y πw . . . . . .. . . . 42

3 Teoremas de ref lejo en la clase de espacios compactos
3.1 Teoremas de reflejo para χ, t, ψ y psw . . . . . . .
3.2 El teorema de metrizaci´n de Alan Dow . . . . . .
o
3.3 Teorema de reflejo para el i-peso y espacios di´dicos
a

53
53
60
68

Referencias

73

iii

iv

Introducci´n
o
a Topolog´ no fue la invenci´n de un solo hombre; alıa
o
gunos problemastopol´gicos se encuentran en la obra
o
de Euler, de M¨bius y de Cantor, e incluso la palabra
o
misma “topolog´ hab´ sido utilizada ya en 1847 por
ıa”
ıa
J. B. Listting (1808-1882) en el t´
ıtulo de su libro “Vorstudien
zur Topologie” (“Introducci´n al estudio de la topolog´
o
ıa”), pero
si queremos fijar una fecha que se˜ale los comienzos “oficiales” de
n
esta rama de la matem´tica, lam´s adecuada ser´ la del a˜o de
a
a
ıa
n
1895; el a˜o en que Poincar´ public´ su analysis in Situs (como se
n
e
o
le denominaba a la topolog´ combinatoria en aquella ´poca). En
ıa
e
su libro se daba por primera vez un desarrollo sistem´tico del tema.
a
La Topolog´ es hoy una rama extensa y fundamental dentro de
ıa
la matem´tica con muchos aspectos parciales, pero a grandes rasa
gosse puede subdividir en dos ramas bastantes distintas: Topolog´
ıa
Combinatoria o Algebraica y Topolog´ Conjuntista. Poincar´
ıa
e
mostr´ poco entusiasmo por la segunda, y en 1908, dirigi´ndose
o
e
v

vi

Introducci´n
o

al Internacional Mathematical Congress en Roma, se refir´ a la
ıo
Mengenlehre de Cantor como una enfermedad de la que las generaciones posteriores se considerar´completamente curadas [13].
ıan
Carl B. Boyer, en su libro Historia de la matem´tica, menciona
a
que se cree que la topolog´ comenz´ con el analisys in situs de
ıa
o
Poncair´, algunos otros sostienen que los or´
e
ıgenes de la topolog´
ıa
surge de la teor´ de los conjuntos de Cantor o quiz´ del desarıa
a
rollo de la teor´ de los espacios abstractos, pero para otros el
ıa
verdaderofundador de la Topolog´ es Brouwer especialmente por
ıa
su teorema de la invariancia topol´gica de la dimensi´n, de 1911,
o
o
y por su fusi´n de los m´todos de Cantor con los del “analysis
o
e
in situs”. En cualquier caso, con Brouwer comenz´ el per´
o
ıodo de
evoluci´n y desarrollo intensivo de la topolog´ que ha continuado
o
ıa
hasta el d´ de hoy [13]. Y si se quiere hablar ahora deun libro
ıa
que se˜ale el nacimiento de la topolog´ conjuntista como discin
ıa
plina independiente, ese libro es: Grundz¨ge der Mengenlehre de
u
Felix Hausdorff [20].
Hace ya tiempo que Cantor introdujo el concepto de correspondencia uno-a-uno para poder medir el tama˜o de los infinitos [21].
n
Esta manera de comparar infinitos la seguimos usando hoy como
una herramienta indispensable, dehecho vemos que en el tema que
ata˜e a este trabajo se usa frecuentemente. Como consecuencia
n
de esta correspondencia uno-a-uno surgi´ la hip´tesis del continuo
o
o
[21], la cual es hoy de gran importancia en varias ramas de las
matem´ticas y no solamente en la teor´ de conjuntos.
a
ıa
La topolog´ general (propiamente, la Topolog´ Conjuntista)
ıa
ıa
puede ser considerada como surgidade la teor´ de conjuntos. Sin
ıa
embargo, hoy la topolog´ y la teor´ de conjuntos son dos ramas
ıa
ıa
distinguibles una de otra, con sus diferentes m´todos de prueba y
e
aplicaci´n. No obstante, la naturaleza conjuntista de la topolog´
o
ıa
hace apropiada la aplicaci´n de m´todos de la teor´ conjuntista
o
e
ıa

Introducci´n
o

vii

y muchos de los problemas de la teor´ de...