cristalografia

4 Grupos cristalográficos planos.

A continuación pasamos a estudiar los grupos cristalográficos planos. Recordemos que un friso se genera a partir de un motivo que se repite en una dirección dada (3.0.2). Si ahora un motivo se repite en dos direcciones distintas del plano, entonces su grupo de simetría va a ser un grupo cristalográfico.

Figura 4.1: La Alambra de Granada
Image../CristImag/Alambra.jpg
Es necesario mencionar los mosaicos de la Alhambra de Granada, en donde es posible encontrar ejemplos de todos los grupos cristalográficos del plano. Por ejemplo en la imagen 4.1 vemos que el área señalada por el paralelogramo rojo se repite en las dos direcciones que marcan los lados de dicho paralelogramo (recordemos que no tenemos en cuenta los colores).

Figura 4.2:Paralelogramo fundamental
Image ../CristImag/Reticulo.jpg
Definición 4.0.1 El grupo de simetría $ G $ de una figura plana, se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores linealmente independientes.
$\displaystyle G\cap\mathcal{T}= \langle t_{\vec{u}}, t_{\vec{v}}\rangle= \{t_{m\vec{u}+n\vec{v}}\mid m, n\in\mathbb{Z}\}$donde los vectores $ \vec{u} $ y $ \vec{v} $ son linealmente independientes y recordemos que $ \mathcal{T} $ denota al grupo formado por todas las traslaciones del plano.
Los dos vectores $ \vec{u} $ y $ \vec{v} $ al ser linealmente independientes determinan un paralelogramo, que llamaremos paralelogramo fundamental.

Hay que indicar que el paralelogramo fundamental no es único, como se veen 4.0.2. Para calcular un paralelogramo fundamental podemos buscar dos vectores $ \vec{u} $ y $ \vec{v} $ no nulos y linealmente independientes, de norma mínima tales que las traslaciones $ t_{\vec{u}} $ y $ t_{\vec{v}} $ pertenecen al grupo cristalográfico.


Otra forma más intuitiva de buscar un paralelogramo fundamental es buscar un paralelogramo, digamos $ ABCD $, de tal manera que:

Siaplicamos a dicho paralelogramo las traslaciones generadas por las traslaciones de vectores $ \overrightarrow{AB} $ y $ \overrightarrow{AC} $ obtenemos la figura completa.
Además el paralelogramos $ ABCD $ tiene sus lados lo más pequeños posible
Figura 4.3: Regiones que son (dcha.) y no son (izda.) paralelogramos fundamentales
Image ../CristImag/NoParalelog.jpg Image../CristImag/Paralelog.jpg
Por ejemplo en la figura 4.3 los dos paralelogramos marcados a la izquierda generan la figura completa al aplicarles traslaciones, es decir satisfacen la primera condición, pero sus lados no son del tamaño mínimo, como se puede ver en los tres cuadrados a la derecha, que sí que son paralelogramos fundamentales.
4.0.2 Como hemos podido observar en la figura 4.3, el paralelogramo fundamentalno es único, de hecho cualquier traslación suya es de nuevo un paralelogramo fundamental. Pero también puede haber otros paralelogramos que no se obtengan por una traslación.
Figura 4.4: Otros paralelogramos fundamentales
Image ../CristImag/Paralelog2.jpg
En la figura 4.4 los tres rombos marcados son paralelogramos fundamentales.
Observemos que, en cualquier caso, si tenemos un paralelogramofundamental $ ABCD $ entonces las traslaciones de vectores $ AB $ y $ AC $ generan las traslaciones que contiene el grupo de simetría. Es decir, en la definición de grupo cristalográfico (4.0.1) tenemos que $ \vec{u}=\overrightarrow{AB} $ y $ \vec{v}=\overrightarrow{AC} $.

Nos preguntamos a continuación qué tipo de movimientos, además de las traslaciones mencionadas, puede contener un grupocristalográfico plano. Como primer criterio veamos qué tipo de giros pueden aparecer. Recordemos que un giro pertenece al grupo de simetría de una figura, si al efectuar dicho giro la figura completa no varía.

Figura 4.5: Giros en grupos cristalográficos
Image ../CristImag/W6centrosA.jpg Image ../CristImag/W3centrosA.jpg Image ../CristImag/W4centrosA.jpg
En las tres imágenes de la figura 4.5...