Cronicas

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Las cónicas y sus dos mil años de historia por Leonard Echagüe

En las imágenes que se presentan a continuación se observan las trayectorias de varios proyectiles lanzados con diferentes velocidades iniciales (las cuales se representan con los segmentos situados al comienzo de las trayectorias). Las simulaciones se trazan de acuerdo a las ecuaciones de la cinemática de partículas bajo un campode gravedad constante, tal como el terrestre. Si no tenemos en cuenta el rozamiento del aire y otros factores perturbadores, las trayectorias tienen la forma de una parábola.

Nótese que estas trayectorias podrían descomponerse en dos movimientos: uno horizontal, de velocidad uniforme, y otro vertical, acelerado hacia abajo, como en el caso de tirar una piedra hacia arriba.

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Otrassimulaciones, formadas por la resolución numérica de las ecuaciones de Newton referidas a la dinámica y la gravitación muestran el comportamiento de partículas bajo la acción de un campo gravitatorio, producido por una gran masa. Se muestran las trayectorias de una partícula que orbita según diferentes valores de velocidad inicial con dirección vertical desde cierto punto de la horizontal que pasa porla masa de atracción. Nótese que para bajas velocidades iniciales, las curvas descriptas son cerradas, mientras que las velocidades iniciales altas producen curvas abiertas.

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Las cónicas pueden definirse como lugares geométricos de puntos que cumplen ciertas propiedades. Aquí se expresan las condiciones de la suma de distancias a los focos de la elipse (d1 y d2) y la de la proporción de laexcentricidad. d1+d2=constante d2/de=excentricidad

La próxima simulación ilustra la verificación aproximada de las propiedades métricas que definen a las trayectorias de recorrido de las partículas del caso de simulación anterior, mostrando por qué pueden ser consideradas cónicas y en este caso particular, una elipse. Se utiliza una curva de base obtenida en el punto anterior mediante lasimulación dinámica. Esto muestra elementalmente cómo, partiendo de la experiencia física, o de otro modo, cómo del cumplimiento de las leyes de la dinámica por simulación se pueden obtener conocimientos de geometría. En la simulación se procede a expresar en forma aproximada las distancias entre el centro de atracción y la partícula que orbita, y entre la partícula y un eje directriz. Para ello seubican los focos y una directriz de una elipse, calculando su posición según las medidas de la órbita. Se nota que se cumple con gran aproximación tanto la ley de la suma de las distancias, como la de la proporción de excentricidad respecto del eje directriz. Isaac Newton, en su obra Principios matemáticos de la filosofía natural demuestra teóricamente que los cuerpos que describen órbitas bajo uncampo de gravedad central lo hacen sobre trayectorias cónicas. Los errores en la suma calculada y en la excentricidad calculada son de orden menor al 1%, por lo tanto, se puede en primera aproximación considerar que la órbita es elíptica.

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Ya en la Antigüedad, Apolonio de Pérgamo (262 a.C-190 a.C.) trató con el problema de las secciones cónicas. Las cónicas pueden clasificarse según elángulo de inclinación de los planos de corte respecto de la apertura del cono. Cuando el ángulo de corte es mayor que el ángulo de apertura del cono, la curva trazada es una elipse. La excentricidad está entre cero y uno. Cuando el ángulo de corte es igual al ángulo de apertura del cono, la curva que se traza es una parábola. La excentricidad es igual a 1. Cuando el ángulo de corte es menor alángulo de apertura del cono, la curva trazada es una hipérbola. En este caso la excentricidad es mayor que uno. Nótese que el plano de corte en el caso de las hipérbolas corta al cono en sus dos partes, la superior y la inferior, obteniéndose de este modo las dos ramas. En las imágenes siguientes se observan diferentes posiciones de los planos que cortan solamente la parte inferior del cono.

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