Cuadriláteros Cíclicos

Cuadriláteros Cíclicos
Resolver problemas de Geometría Plana en las competencias, frecuentemente se reduce a demostrar la igualdad de algunos ángulos. Una buena idea en tales situaciones es buscar cuadriláteros cíclicos, porque los cuadriláteros cíclicos tienen dos propiedades: • • el ángulo formado por un lado y una diagonal es igual al ángulo formado por el lado opuesto y la otra diagonal, yun ángulo es igual al suplemento de su ángulo opuesto.

En ambos casos las igualdades permanecen porque los ángulos están inscritos en arcos iguales.

El objetivo de esta sección es llevar a la práctica la resolución de problemas donde se involucran cuadriláteros cíclicos. Los problemas que hemos escogido pueden ser resueltos usando estas dos propiedades. Aquí hay algunos ejemplos: Ejemplo 1.Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Un punto M es marcado sobre la semicircunferencia, y un punto K es marcado sobre AB. Una circunferencia con centro P pasa por A, M y K, y otra circunferencia con centro Q pasa por M, K y B. Demostrar que M, K, P y Q son concíclicos. Demostración. Del circuncírculo de AMK, tenemos que ∠MPK = 2 ∠MAK ; y del circuncírculo de MBK, tenemos que ∠MQK = 2∠MBK .Luego, como AB es diámetro, el ángulo AMB es recto, por lo que:

90° = ∠MAK + ∠MBK =

1 1 1 ∠MPK + ∠MQK = (∠MPK + ∠MQK ) . 2 2 2 M

Q P A K B

Es decir: ∠MPK + ∠MQK = 180° , de donde el cuadrilátero MPKQ es cíclico, es decir, M, K, P y Q son concíclicos. Ejemplo 2. Sea AB una cuerda de una circunferencia y P un punto sobre ella. Sea Q la proyección de P sobre AB y R y S las proyeccionesde P sobre las tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente. Probar que PQ es la media geométrica de PR y PS (esto es: PQ 2 = PR ⋅ PS ). Demostración. P

R

S A Q B

Probaremos que los triángulos PQR y PQS son semejantes. Esto implicará que PQ PS = , por lo cual PQ 2 = PR ⋅ PS . PR PQ Notemos que los cuadriláteros PQAR y PQBS son cíclicos, pues sus ángulos opuestos suman 180°. Delcuadrilátero PQAR obtenemos que ∠PRQ = ∠PAQ , y

del cuadrilátero PQBS obtenemos ∠PQS = ∠PBS . Pero los ángulos inscritos ∠PAQ y ∠PBS son iguales. Esto implica que ∠PRQ = ∠PQS . Un argumento similar muestra que ∠PQR = ∠PSQ . Esto implica que los triángulos PQR y PQS son semejantes, y con esto podemos concluir. Ejemplo 3. Sean A y B los puntos en común de dos circunferencias secantes. Una rectapasa por A e intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B sobre las tangentes a las dos circunferencias en C y D, respectivamente. Probar que PQ es tangente al círculo de diámetro AB. Demostración. Después de dibujar la figura, nos damos cuenta que posiblemente el punto de tangencia esté sobre CD. Denotemos por M a la intersección de la circunferencia de diámetro ABcon la recta CD y probemos que PQ es tangente al círculo en M. Q T A M C O1 O2 D

B P

Haremos la prueba para la configuración que se muestra en la figura, los otros casos son completamente análogos. Sea T la intersección de las tangentes en C y D. Los ángulos ABD y ADT son iguales, por abrir el mismo arco AD. Similarmente, los ángulos ABC y ACT son iguales, pues abren el mismo arco AC. Estoimplica que ∠CBD = ∠ABD + ∠ABC = ∠ADT + ∠ACT = 180° − ∠CTD . De la última igualdad nos damos cuenta que el cuadrilátero TCBD es cíclico. Además, el cuadrilátero TPBQ también es cíclico pues tiene dos ángulos opuestos de 90°. Con todo esto tenemos que ∠PBQ = 180° − ∠CTD = ∠CBD . Restándole el ángulo ∠CBQ a ambos obtenemos que ∠CBP = ∠QBD .

Los cuadriláteros BMCP y BMQD son cíclicos, ya que ∠CMB = ∠ CPB = ∠ BQD = ∠ DMB = 90°. Entonces, se cumple que:
∠CMP = ∠CBP = ∠QBD = ∠QMD ,

lo cual muestra que P, M y Q son colineales. Luego, como PBMC es cíclico, tenemos que ∠ BMP = ∠ BCP, y como los ángulos ∠ BAC y ∠ BCP son iguales por abrir el mismo arco BC, tenemos que:
∠ BMP = ∠ BAC = ∠ BAM.

Esto último implica que PQ es tangente al círculo de diámetro AB. Ejemplo 4. Sea ABC un...