Cuadrilateros

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CUADRILÁTEROS


DEFINICIONES

PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.



RECTÁNGULO: Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos interiores congruentes.


ROMBO: Es un cuadrilátero con sus cuatro lados congruentes.

CUADRADO: Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos interiores congruentes y cuatro lados congruentes, es decir si es rectángulo yrombo a la vez.


TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y el otro par no paralelos.


TRAPECIO ISÓSCELES: Es un trapecio que tiene congruentes los lados no paralelos.


TRAPECIO RECTÁNGULO: Es un trapecio que tiene un ángulo recto.



TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero con ningún par de lados paralelos.





PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO

TEOREMA: Entodo paralelogramo se cumplen las siguientes propiedades:

1. Los lados opuestos son respectivamente paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente congruentes.
3. Los ángulos opuestos son respectivamente congruentes.
4. Las diagonales se cortan en su punto medio.

Dm: Tomemos un paralelogramo ABCD, con [pic].

1. Trazamos [pic], luego (ABD((CDB por:
A: (ABD((CDB, ((sAlt.Int.[pic]),
L: BD=DB, (común),
A: (ADB((CBD, ((sAlt.Int. [pic]).
Entonces AB=DC y AD=BC (LsHs).

2. Como (A+(B=180(, ((sCol.Int.[pic]) y (B+(C=180(, ((sCol.Int. [pic]) entonces (A=180(–(B=(C. Similarmente se prueba que (B=(D.

3. Sea O el punto de corte de [pic], luego (OAB((OCD por:
A: (OAB((OCD, (sAlt.Int. [pic],
L: AB=CD, por (1),
A: (OBA((ODC, (Alt.Int.[pic].
Entonces AO=OC y BO=OD, (LsHs).


CRITERIOS DE PARALELOGRAMO

TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un paralelogramo:

1. Los lados opuestos son paralelos.
2. Los lados opuestos son respectivamente congruentes.
3. Un par de lados opuestos son paralelos y congruentes.
4. Los ángulos opuestos son respectivamentecongruentes.
5. Las diagonales se cortan en su punto medio.

Dm: (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL RECTÁNGULO

TEOREMA: En todo rectángulo se cumplen las siguientes propiedades:

1. Los cuatro ángulos interiores son rectos.
2. El rectángulo es paralelogramo.
3. Las diagonales son congruentes.

Dm: Sea ABCD un rectángulo:

1. (A=(B=(C=(D, por definición y (A+(B+(C+(D=360(, por ser convexo,entonces (A=(B=(C=(D=90(.

2. Los ángulos opuestos son respectivamente congruentes y por lo tanto es un paralelogramo.

3. Por (2) es paralelogramo, luego AO=OC=AC/2 y BO=OD=BD/2. Además en el triángulo rectángulo ABD, [pic] es la mediana relativa a la hipotenusa [pic], entonces AO=DB/2 y como AO=AC/2 se obtiene DB=AC.


CRITERIOS DE RECTÁNGULO

TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo secumple cualquiera de las siguientes propiedades entonces es un rectángulo:

1. Tiene tres ángulos rectos.
2. Es un paralelogramo con un ángulo recto.
3. Las diagonales son congruentes y se cortan en su punto medio.

Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

3. Si AC=BD y se cortan en su punto medio O entonces es paralelogramo y además en el (DAB resulta la mediana AO=DB/2, luego el ángulo Aes recto. En definitiva, por (2), ABCD es un rectángulo.


PROPIEDADES DEL ROMBO

TEOREMA: En todo rombo se cumplen las siguientes propiedades:

1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es paralelogramo.
3. Las diagonales son perpendiculares.
4. Cada diagonal es bisectriz.

Dm: (Ejercicio)


CRITERIOS DE ROMBO

TEOREMA: Si en un cuadrilátero convexo se cumple cualquiera de lassiguientes propiedades entonces es un rombo:

1. Los cuatro lados son congruentes.
2. Es un paralelogramo con dos lados consecutivos congruentes.
3. Las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
4. Cada diagonal es bisectriz.


Dm: Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

3. Supongamos que las diagonales [pic] son bisectrices de los ángulos, entonces (ABD((ADC (ALA),...