Cuantificadoes Logicos

-------------------------------------------------
Cuantificadores lógicos:

Considérese ahora la siguiente expresión matemática:
x > 3
Esta expresión no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo será hasta que no reemplacemos a la x por algún número cualquiera. Sin embargo, también es posible dar un valor de verdad a la expresión si se le antepone un cuantificador. Un cuantificador esuna expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos. En la lógica clásica, los dos cuantificadores más estudiados son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando, y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos. Por ejemplo, laexpresión "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a "x< 3", produce:
Para todo x, x < 3
Esta es una expresión con valor de verdad, en particular, una expresión falsa, pues existen muchos números (muchos x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresión "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene:
Para al menos un x, x < 3
La cualresulta ser una expresión verdadera.
Adviértase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se está hablando sólo de los números negativos, por ejemplo, entonces la afirmación es verdadera. Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se está hablando solamente de los números 3, 4 y5, entonces la afirmación es falsa. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, se lo llama el dominio de discurso.
Esta maquinaria puede adaptarse fácilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración puede traducirse así:
Para todo x, x es amigable.
Y una oracióncomo "alguien está mintiendo" puede traducirse:
Para al menos un x, x está mintiendo.
También es frecuente traducir esta última oración así:
Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.

A continuación se formalizan ambas oraciones, introduciendo a la vez la notación especial para los cuantificadores:
Para todo x, x es amigable. ∀x A(x)
Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.∃x M(x)

-------------------------------------------------
Tipos de cuantificadores:
Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí estánlos símbolos.
Nombre | Notación | Se lee |
cuantificador universal | | Para todo x... |
cuantificador existencial | | Existe por lo menos un x... |
cuantificador existencial con marca de unicidad | | Existe un único x... |

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma  que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".
En realidad,estos dos últimos cuantificadores son iguales, ya que  dice lo mismo que dice . En palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que decir "existe x tal que p es falsa".

-------------------------------------------------
Usos de los cuantificadores:

Cuantificación universal
El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen conuna determinada propiedad. Por ejemplo:
.
Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

Cuantificación existencial
El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto  (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:
.
Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la...