cuerda vibrante

Introducción
Estos apuntes estudian principalmente las ecuaciones en derivadas parciales
(EDPs), aunque también tratan las soluciones por medio de series y los problemas
de contorno de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Una EDP es una
ecuación en la que aparecen derivadas parciales de una función incógnita de varias
variables. Todas las EDPs que veremos serán lineales. Más enconcreto, salvo un
breve estudio de las lineales de primer orden, trataremos de EDPs lineales de
segundo orden (con derivadas de orden 2 o menor), del tipo:
n

[E] L[] ≡

Aj

∂2 
∂ ∂j

n

+

Bj

∂
∂j

+ C = F

j=1

,j=1

con  , Aj , Bj , C y F funciones de (1 , ..., n ) . Sobre todo veremos el caso n = 2 .
Una solución de [E] será una función (1 , . . . ,n ) de clase C2 en una región Ω
de Rn que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad.
Entre las EDPs lineales de segundo orden se encuentran muchas ecuaciones de la
física. Entre ellas las tres clásicas:
ecuación de ondas
ecuación del calor
y ecuación de Laplace

tt − c2 Δ = 0
t − kΔ = 0
Δ = 0

que son ejemplos, respectivamente, de los tres grandes tipos en que seclasifican:
hiperbólicas, parabólicas y elípticas. La teoría avanzada de EDPs viene a ser
la generalización del estudio de estas tres ecuaciones. Sus propiedades son tan
diferentes que no existen teorías generales como la de las EDOs lineales.
En el capítulo 1 se verá que pocas veces se puede hallar la solución de una EDP
mediante integración (por eso, en el capítulo 4 utilizaremos series pararesolverla).
Veremos como dar la solución general de algunas EDPs de primer orden en dos
variables (y aparecerá una función arbitraria de las características, soluciones de
una EDO ligada a la EDP) y de pocas de segundo (con dos funciones arbitrarias).
Precisaremos qué condiciones adicionales (iniciales o de contorno) se imponen a
las EDPs para conseguir solución única. De las clásicas, sólopara la de ondas se
podrá dar su solución general y una fórmula (de D’Alembert) para la solución con
datos iniciales. Utilizaremos también la transformada de Fourier para resolver
algunas EDPs en recintos no acotados (como la del calor en la recta infinita).
El capítulo 2 describe cómo resolver EDOs lineales de segundo orden mediante
series de potencias (único método posible en la mayoría de lasocasiones), en
torno a los llamados puntos regulares y a los singulares regulares, incluido
el llamado punto del infinito. Se aplica el método a tres ecuaciones particulares
(Legendre, Hermite y Bessel) que aparecen al resolver EDPs de la física.
El capítulo 4 describe el método de separación de variables para resolver las
ecuaciones clásicas (homogéneas y no homogéneas, en diferentescoordenadas y
en 2 o más variables) en recintos sencillos (y acotados, al menos, en una de las
variables). Se supone la solución como producto de funciones de cada variable y
esto lleva a resolver EDOs para cada una, alguna con condiciones de contorno. Las
soluciones quedan expresadas en términos de series de Fourier. La teoría (muy
diferente de la de los de valores iniciales) de problemas decontorno para EDOs
(homogéneos y no homogéneos) y un estudio de dichas series se dará previamente
en el capítulo 3. Y al final del 4 hablaremos brevemente de las funciones de
Green para problemas de contorno de EDOs y para Laplace.
Los apuntes acaban con un apéndice en el que se repasan algunos conocimientos
matemáticos previos (de EDOs, de cálculo en varias variables y de convergencia
uniforme) quese utilizan en los capítulos anteriores.

1

Para acabar esta introducción, describamos el significado físico de las ecuaciones
clásicas. Interpretémoslas únicamente en sus versiones más sencillas (que son las
más tratadas en los apuntes): cuando la  es función de dos variables.
Empecemos con la ecuación de ondas unidimensional o ecuación de la cuerda
vibrante. Consideremos las...