Cuerpo Rigido

FACULTAD DE INGENIERÍA - UBA ÁLGEBRA II Primer cuatrimestre 2010

PRIMER EXAMEN PARCIAL
30 de junio de 2010 (Tercera oportunidad)
TEMA 2

RESOLUCIÓN
Aclaración: El alumno debetener presente que siempre hay más de una forma correcta de resolver un ejercicio. La resolución aquí presentada es una de las tantas posibles.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) Determine si la suma de los tres siguientes subespacios de [pic] es directa:
[pic]
[pic]
[pic]RESOLUCIÓN 1: Si la suma fuera directa, tendríamos

[pic]

Absurdo, pues [pic] es un subespacio de [pic]. Por lo tanto la suma no es directa.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(2) Sea ( . , . ) el producto interno en [pic] dado por [pic] y sea [pic] tal que [pic]. Dado el subespacio [pic],encontrar el elemento de S más próximo a h y calcular [pic].

RESOLUCIÓN 2: Indicando con f y g los polinomios [pic] y [pic], tenemos que [pic], es decir:[pic].

Además,

[pic] , [pic] , [pic]

En particular, f y g resultan ortogonales y entonces: [pic]. Haciendo un par de cuentitas más:[pic] , [pic]

Por lo tanto, [pic] y [pic] es el elemento de S más próximo a h . Explícitamente, se trata del polinomio [pic]. En cuanto a la distancia de h aS, tenemos

[pic]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(3): Sea [pic] tal que [pic] y rango(A) = 3. Encuentre lamatriz de proyección a col(A).

RESOLUCIÓN 3: Por hipótesis, el vector [pic] pertenece [pic]. Por otra parte, [pic] . Podemos concluir, entonces, que [pic] = [pic]. Aclaración importante: para...