curva elastica


ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA O MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
La curva elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga.
La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente laecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:
(1)







La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que lasdeformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):
(1')
La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:
(2)
Esta última ecuación es interesante porque sugeneralización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:

Donde es la rigidez de una placa delgada en flexión.
Método de integración
Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la sección anterior. Es necesario obtener primero la ley de variación del momento flector para la vigaestudiada, tal como se hizo en el ejemplo anterior. Una vez conocida la ley de momentos flectores, se procede por integración directa. Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor de ese punto respecto a la posición original el resultado de la deformación el resultado de la integración directa essimplemente:1

Equivalentemente la expresión anterior puede reescribirse mediante integración por partes como una integral simple:

El llamado método del área-momento, es en realidad una versión en términos geométricos del método de integración. De acuerdo con esta versión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del siguiente modo:
1. Se calcula la superficie del área bajo la curva Mz/EI.
2.Se calcula la distancia centroide del área anterior medida a partir del eje de la viga.
3. La segunda integral buscada es el producto de las dos magnitudes anteriores.
Método de superposición
El método de superposición usa el principio de superposición de la teoría de la elasticidad lineal. El método de superposición consiste en descomponer el problema inicial de cálculo de vigas en problemas ocasos más simples, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y fórmulas de pendientes y deformaciones en vigas al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y fórmulas.Método de área de momento
El método de área de momento nos proporciona un procedimiento semigrafico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de una viga o flecha. La aplicación del método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga.

Cuando la viga esta inicialmente recta, es deformadaelásticamente por las cargas , de modo que la pendiente y la deflexión de la curva elástica son muy pequeñas y las deformaciones son causadas por flexión.

Como todo método, nos proporciona diferentes alternativas o maneras distintas de dar solución a nuestro problema, en este caso este método de área de momento se basa en dos teoremas usados para determinar la pendiente y el desplazamiento en un...