curvas integracion

Departamento de Matem´
atica Aplicada
Facultade de Matem´
aticas
R´
ua Lope G´
omez de Marzoa, s/n
15782 Santiago de Compostela

Grado en Ingenier´ıa Qu´ımica. Curso 2012-13.
Bolet´ın deejercicios n. 10 de Matem´
aticas
C´
alculo de integrales sobre curvas

1. Un objeto
√ se mueve con desplazamiento u(t) =
et i + ( 2 t + 3)j + e−t k. Halla la velocidad y la
rapidez del objetoen el instante t. Calcula la
longitud recorrida entre t = 0 y t = 1.
2. Calcular
√ la longitud de la curva dada por
y = 1 − x2 , x ∈ [−1/2, 1/2] .
3. Calcular

C

ti + t2 j
i + tj

a) a lolargo de la recta 0A.
b) a lo largo de la curva parametrizada como:
x = t, y = t2 , z = t3 , 0 ≤ t ≤ 1.

2x ds, siendo

r(t) =

10. Sea F(x, y, z) = (x2 − y)i + (y 2 − z)j + (z 2 − x).Calcular C F · dr suponiendo que el punto de
aplicaci´on de dicha fuerza se desplaza desde el
origen al punto A = (1, 1, 1) de las siguientes formas:

0 ≤ t ≤ 1,
1 ≤ t ≤ 2,

11. Calcular C cos z dx +ex dy + ey dz, siendo
r(t) = i+tj+et k, 0 ≤ t ≤ 2, una parametrizaci´on
de C.

una parametrizaci´on de C.
4. Un alambre tiene forma de un semic´ırculo de radio uno, x2 + y 2 = 1, y ≥ 0. Calcularsu masa
si la densidad es proporcional a su distancia a la
recta y = 1, es decir ρ(x, y) = k(1 − y).
5. Calcular el ´area de la valla cuya base es una curva
que se puede parametrizar como
r(t) =30 cos3 ti + 30sen3 tj, t ∈ 0,

π
2

y
y cuya altura es f (x, y) = 1 + .
3
6. Halla la masa de dos vueltas de un muelle de densidad ρ(x, y, z) = (x2 +y 2 +z 2 )/2 que tiene forma
de unah´elice circular que se puede parametrizar
como r(t) = 3 cos ti + 3sen tj + 2tk.
7. Sean f (x, y) = 2x−y, x = t4 , y = t4 , −1 ≤ t ≤ 1.
• Calcular la integral de f a lo largo de esta
trayectoria.
•Hallar la funci´on longitud de arco.
8. Calcular C (x2 − y + 3z) ds, siendo r(t) = ti +
2tj + tk, t ∈ [0, 1] una parametrizaci´on de C.
Comprobar que el valor es el mismo si invertimos
la...