Curvas

CURVAS DE NIVEL La representación gráfica de funciones escalares resulta generalmente bastante simple por tratarse de curvas planas. En cambio, la representación de las superficies asociadas afunciones de dos variables resulta, en la mayor parte de los casos, excesivamente complicada. Es usual, para determinadas funciones, recurrir a curvas planas llamadas curvas de nivel. Si una función estádada por la expresión z = F ( x, y ) y hacemos F ( x , y) = k , esta última ecuación corresponde a los puntos de la superficie que se obtiene seccionándola con el plano z = k , paralelo al planocoordenado z = 0 , o sea al determinado por los ejes x e y. Para diferentes valores de k, se obtienen distintas curvas planas que forman una familia de curvas de nivel.

En esta figura podemos observar larelación existente entre las curvas de nivel y la superficie. Si se imagina que las curvas son levantadas hasta la altura indicada por el valor de k, se puede armar mentalmente una i ea de lasuperficie. Por ejemplo, vemos que la superficie es más d empinada donde las curvas están más cercanas entre sí y es algo más llana, donde están más separadas. Un ejemplo típico de curvas de nivel se presentaen los mapas topográficos de regiones montañosas, en tal caso, las curvas de nivel son curvas de elevación constante sobre el nivel del mar. Si una persona camina a lo largo de una de estas curvas decontorno, no asciende ni desciende. Otro ejemplo común son las isotermas, en este caso, las curvas de nivel unen lugares que tienen igual temperatura. Definición: Dado un campo escalar de dosvariables por la expresión z = F ( x, y ) , se llama curva de nivel k al conjunto de puntos x, y del dominio de F para los cuales F ( x , y) = k . Ejemplo 1: Dada la función z = 6 − 3 x − 2 y , sus curvas denivel estarán dadas por: 6 − 3x − 2 y = k o bien 3 x + 2y + (k − 6 ) = 0 dándole diferentes valores a k, obtendremos una familia de rectas en el plano.

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Ejemplo 2: Las curvas de nivel de la...