Curvas


  DEFINICIÓN
 
     La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r', a dos puntos fijos F y F', denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

     La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzanperpendicularmente en el centro O de la elipse.

     La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que .

     La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

     Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r', y por definición se cumple que r+r' = 2a.
  
 
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  PROPIEDADES YELEMENTOS

     Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y lasmediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse 

     Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.     Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

 





  TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES
 
     Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es iguala 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3 etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentosA1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.

     Con cada pareja de radios vectores, sedeterminarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

     Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.
  

  RECTA TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO DE LA ELIPSE
 
     La tangente a la elipse en un punto de ella P, es labisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.

     La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.
  









  RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR POR CINCUNFERENCIA FOCAL

   Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto alas tangentes a la elipse.

     Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F', la cual corta a la focal en los puntos F'1 y F'2. Dichos puntos son los simétricos del F' respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.

     Solo resta trazar las mediatrices de lossegmentos F'-F'1 y F'-F'2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.

     Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F'1 y F-F'2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
 


  RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE, PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA POR CIRCUNFERENCIA FOCAL

     Esta...