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aaaaaaaaaaaaaaaajlnglskhg
afsdgfbioeufhbkldavf
dgfaohdbiohgauiosdghosughoadhgfpdagadg
agdhgokajghajklghjkghjkghjkshgkhfjkghkjfhgjkahguaiieora
fasdfjiueiyrobno0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\} \end{matrix}

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalenciaanterior de hecho se tiene:

\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}

Aritmética de los números racionales
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación en Q

Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Relaciones deequivalencia y orden en Q

Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando ad = bc \,

Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales que ab > 0 \,

Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que ab < 0 \,

Se define el orden \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando ad - bc > 0 \,

Existencia de neutros e inversos

Para cualquier número racional:\frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{0}{1} es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{1}{1} es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
Cada número racional: \frac{a}{b} tiene un inverso aditivo\frac{-a}{b} tal que \frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0
Cada número racional: \frac{a}{b} con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo \frac{b}{a} tal que \frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1

Equivalencias notables en Q

Todo número entero p \, se puede escribir como fracción \frac{p}{1}
\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} con c\neq 0 y b\neq 0
\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}
\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0 con a\neq 0 y b\neq 0
\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1 con a\neq 0 y b\neq 0 .

Propiedades

El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

Laclausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre \N y \Q (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

Propiedad arquimediana: el conjunto \Q esdenso en \R por construcción misma de \R; es decir, para cualquier pareja de números reales existe otro número racional situado entre ellos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma: q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n} donde p_i\in \mathbb{N} son números enteros primos, \alpha_i\in \mathbb{Z} (siendo algunos de ellosnegativos si q no es entero) y u\in\{1,-1\}. Por ejemplo 260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,.

Escritura decimal
Representación racional de los números decimales

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarsecomo número racional de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
Ejemplo: 34,65 = \frac{3465}{100}
Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número...