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Caracterización de la relación entre
variables

Tema.8. Medidas de relación o asociación. Concepto.
Distribución conjunta de frecuencias y representación
gráfica. Covarianza y coeficiente de correlación de
Pearson.

Concepto

Hasta ahora nos hemos centrado en medidas de
tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis
de una única variable.
No obstante, en la práctica es comúnexaminar dos
o más variables conjuntamente (por ejemplo,
relación entre inteligencia y rendimiento, etc.)
En este tema nos centraremos en la relación entre
2 variables (a partir de n observaciones apareadas)
y calcularemos un índice que nos dará el grado de
relación/asociación entre ambas variables: el
coeficiente de correlación lineal (de Pearson)

inteligencia

Relación linealpositiva

rendimiento

rendimiento

rendimiento

Representación gráfica de una relación

inteligencia

Sin relación

inteligencia

Relación lineal negativa

Nota: El coeficiente de correlación de Pearson mide relación LINEAL.

rendimiento

rendimiento

Representación gráfica de una relación (2)

inteligencia

Relación lineal

inteligencia

Relación no lineal

Nota: Elcoeficiente de correlación de Pearson mide relación LINEAL.

inteligencia

Relación lineal perfecta
(casi perfecta)

rendimiento

rendimiento

rendimiento

Representación gráfica de una relación (3)

inteligencia

Relación lineal
fuerte/moderada

inteligencia

Relación lineal débil

Ahora necesitamos un índice que nos informe tanto del grado en que X e Y
estánrelacionadas, y si la relación es positiva o negativa

rendimiento

Covarianza e índice de correlación de Pearson

Caso 1

Observe que cuando la relación lineal es positiva,
cuando las puntuaciones diferenciales de X son
positivas, las puntuaciones diferenciales de Y
suelen ser positivas.

rendimiento

inteligencia

Caso 2

inteligencia

Observe que cuando la relación lineal esnegativa,
cuando las puntuaciones diferenciales de X son
positivas, las puntuaciones diferenciales de Y
suelen ser negativas.

Covarianza
La covarianza aprovecha esta característica señalada en la
transparencia anterior (al emplear el producto de las
puntuaciones diferencias de X e Y). He aquí la fórmula:
n

sxy 

 X
i 1

i

 X Yi  Y 
n

En el caso 1, la covarianza será unvalor positivo, y
en el caso 2, la covarianza será un valor negativo. Por
tanto la covarianza nos da una idea de si la relación
entre X e Y es positiva o negativa.
Problema: la covarianza no en un índice acotado (poe ejemplo, cómo
interpretar una covarianza de 6 en términos del grado de asociación), y no
tiene en cuenta la variabilidad de las variables. Por eso se emplea el
siguienteíndice....

Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
El coeficiente de correlación de Pearson parte de la
covarianza:

n

rxy 

 X
i 1

i

 X Yi  Y 

n  sx  s y

rxy 

Ahora veremos varias propiedades del índice...

sxy
sx  s y

Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Propiedad 1. El índice de correlación de Pearson no puede valer
menos de -1 ni másde +1.

Un índice de correlación de Pearson de -1 indica una relación lineal
negativa perfecta

Un índice de correlación de Pearson de +1 indica una relación
lineal positiva perfecta.

Un índice de correlación de Pearson de 0 indica ausencia de
relación lineal. (Observad que un valor cercano a 0 del índice no
implica que no haya algún tipo de relación no lineal: el índice de
Pearsonmide relación lineal.)

Coeficiente de correlación (lineal) de Pearson
Propiedad 2. El índice de correlación de Pearson (en valor absoluto)
no varía cuando se transforman linealmente las variables.

Por ejemplo, la correlación de Pearson entre la temperatura (en grados
celsius) y el nivel de depresión es la misma que la correlación entre la
temperatura (medida en grados Fahrenheit) y el...