dari

Universidad Tecnológica del Chocó “Diego Luís Córdoba” 
Ejercicios resueltos de integral de superficies cerradas.   Cálculo Vectorial   Ingeniería 
Civil          Nivel  IV      J: D 
 
 

 1.

Calcular  la  integral  de  superficie  si     
superficie cerrada  
;      
9;      

, ,
1 

    y    ϕ

  es  la 

 
 

 

 Solución: 
 
 1.1 Representación gráfica de la superficie cerrada: 
 
Gráfica 1 
Gráfica 2

Gráfica 3 

 
 
1.2 Planteamiento de la solución 
 
El sólido está limitado por 3 superficies: 
 la tapa 
9  (Ver gráfica 2);  
 la 1 (Ver gráfica 3); 
 la superficie del paraboloide  
 (Ver gráfica 1) 
tapa 
Luego para el cálculo de la integral de superficie se tiene: 
 





 
1.2.1 Cálculo de   









,

 d  

 
Parametrización en la superficie 
 
,



9  , con:  ,  como parámetros  

, 9  

 
Cálculo de un vector normal exterior a  
 

 

1
0

0
1

0
0

0, 0,1  

 
 
x,

y,

9 ∙ 0,

9



9

0,

1

 

 
√

9

 
√

 
√

9

9

18

9

 

√

 

 
La integral  √9
 
  
3
∴
 
9

xdx se resuelve mediante la sustitución: 
3

x dx

9

  

9

3



9 1

3

 

 
3

3

9

9



9
2

2

1

 
9
2

2

9
2

9
4

2

9
2

 

 Remplazando en el resultado 
 



 para retornar a la variable original  : 

 

9
4

9
2

2

9
2
4

9
2

9
2

9
2

1

 

 

9
2

1

3

9
2

3

 

3

 
3
2

19
2



3

3



 

 
El valor de la integral definida es: 
 

18

18 3

9

2

1

2

3



9
2

1

 

3

 
3
2

9



9
2



3

 
18

33 1
2

18

9
1
2

2

3
3

9
2



1

3
3

3
2

18

3

3
3

1

2

9
2



1

3
3

 

 

9
2

1

18 0

9

2

1 2

9...