david

 República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Defensa.
Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas. Extensión Pto. Píritu.
Núcleo Anzoátegui



Transformación
LinealIntegrante: 2. semestre David Hernández
. Ing. Civil. Sección 2


Transformaciones lineales
Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k.Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  

Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal
Kernel o Núcleo

una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal 
, denotado por el conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

magen o Recorrido
Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es 
como elconjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen. 
ejemplo: magen
Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.
Para ello, sean 

tales que  
T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)
Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, ydeterminando su escalonada

luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto, 
Im(T) = {(a;b;c) 
/((x;y;z) 
((T(x;y;z)=(a;b;c)) 
= {(a;b;c) 
/a-b-c=0} 
= : 

La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación linealRepresentación matricial de una transformación lineal.
Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.
Los tik forman unvector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n.
Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa aunas bases ordenadas{e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.
Teorema
Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...n que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjuntoindependiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...,n que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,...,n) es una representación de T respecto a la base
(u1,...,un).
Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares 1,...,n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k =1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y 1,...,n, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.
Teorema
Sea una matriz de n × n se dice que  es un valor propio de A ssi P()=det(A " i) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P() se llama polinomio característico de A.
Teorema
Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de...