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UNIVERSIDAD DE JAÉN
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES Y

Departamento de Matemáticas
(Área de Álgebra)
Curso 2013/14

JURÍDICAS

Álgebra. Grado en Estadística y Empresa
Relación de problemas.Tema 4.
DIAGONALIZACIÓN

1. Estudiar si las matrices siguientes son diagonalizables por semejanza:
3 1 1
1 0
0
1
A=൭1 3 1൱ B=൭0 െ1 1 ൱ C=൭0
1 1 3
0 0 െ1
0

0 1
5
1 െ2൱ E=൭2
0 2
1

1െ1
4 െ2൱
െ1 3

0 െ݅
ቁ
݅ 0
a) Obtener las ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios propios.
b) Comprobar explícitamente que A es semejante a una matriz diagonal.
c) Calcular A2002. Consideremos la matriz

A=ቀ

3 0
3. Estudiar si la matriz A=൭0 2
0 1
Calcular A-10

0
െ5൱∈ M3( ) es diagonalizable para
െ2

=

y

=

4. Sea V un espacio vectorial sobre y f unendomorfismo en V verificando:
f(e1) = e1 − 2e2
f(e2) = e1 − e2
f(e3) = e1 − e3 + 2e4
f(e4) = e1 − e2 − e3 + e4
donde B ={e1, e2, e3, e4}es base de V. Estudiar si f es diagonalizable porsemejanza.
5 0 0
5. Estudiar para qué valores a, b la matriz A=൭0 െ1 ܾ ൱ es diagonalizable por
3 0 ܽ
semejanza y, en los casos en que sea posible, comprobar explícitamente la semejanza
entre la matrizanterior y la matriz diagonal.
ܽ ܾ
ቁ es diagonalizable por semejanza y,
ܾ ܽ
en los casos en que sea posible, calcular explícitamente la diagonalización.

6. Estudiar para qué valores a, b lamatriz A=ቀ

7. Sea f un endomorfismo en 3 tal que el vector (2,1,0) ∈ Kerf, el vector (1,2,0) es un
vector propio asociado al valor propio λ = 1, y el vector (0,0,3) es un vector propio
asociado alvalor propio λ = −2 .
i) Comprobar que B={(2,1,0),(1,2,0),(0,0,3)} es una base de 3 y hallar la matriz de f
respecto de B.
ii) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base canónica de 3.
iii)Hallar la dimensión, una base, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
implícitas de Kerf e Imf. Clasificar el endomorfismo f.

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