Deconvolucion

Técnicas de Convolución y Deconvolución en Problemas Físicos: Aplicaciones a Espectroscopías

Autor: Virginia Pantín García

Sumario: 1. Introduccion a la Convolucion 2. Definicion del Problema de Deconvolucion 3. Planteamiento del Problema 4. Resolucion Numerica del Problema 5. Resultados Obtenidos 6. Conclusiones 7. Bibliografia 8. Apendices

1. Introduccion a la Convolucion
Muchos delos fenomenos fisicos que encontramos a lo largo de nuestra experiencia diaria pueden ser descritos por el proceso matematico de la convolucion. Un primer ejemplo que puede venir a la mente es el caso de una imagen borrosa. Esta puede ser asi por dos razones, una que basicamente la imagen tenga esa forma, o dos, que la encontramos borrosa ya que efectos no deseados influyen en su proceso depercepcion, por ejemplo un problema fisiologico en el ojo humano.

Al igual que puede ocurrir en el ojo humano muchos instrumentos de medida no pueden discernir hasta el mas fino detalle. Ademas estos instrumentos normalmente se encuentran diseñados para determinar una cantidad o magnitud observable mientras que varia algun parametro independiente. De esta forma, una medida aislada puede versesometida a procesos no deseados que a su vez pueden afectar a medidas vecinas. Asi pues, si tales contribuciones no deseadas se añaden de alguna forma lineal durante el proceso de medida, podremos decir que la distorsion asi producida puede describirse por las matematicas de la convolucion.

En particular, cualquier medida espectroscopica se encuentra profundamente afectada por tales procesos dedistorsion. De esta forma, el principal objetivo de cualquier experimentalista consistiria en obtener el espectro que seria registrado por un hipotetico e ideal instrumento perfecto de medida, teniendo acceso, de esta forma, a una informacion que de cualquier otra forma permaneceria oculta e indisponible. Obtener este espectro ideal es lo que nos conduce a la utilizacion de los metodos de deconvolucion.Uno de los primeros metodos de deconvolucion fue ideado por Van Cittert en 1931, el cual puede ser aplicado de forma relativamente sencilla gracias a los avances computacionales en metodos numericos.

En este trabajo presentaremos la resolucion de un problema mediante este algoritmo, analizando los resultados obtenidos en su aplicacion a diferentes casos experimentales simulados, parafinalizar exponiendo las principales ventajas en su

utilizacion, asi como los problemas que su uso plantea, proponiendo diferentes algoritmos alternativos que mejorarian el algoritmo de Van Cittert original.

2. Definicion del P roblema de Deconvolucion
Para comenzar partiremos de la ecuacion para el producto de convolucion de dos funciones planteado en su forma continua:


C( x )   T ( x')g( x  x' )dx'


Ecuacion 1

Siendo C(x) la funcion que representa los datos conocidos, g(x-x’) la funcion respuesta del instrumento, o dicho de otro modo, la funcion que aporta “los efectos no deseados” que distorsionan nuestras medidas, mientras que T(x) es la funcion que tratamos de conseguir, es decir, la que se encuentra libre de los efectos de ensanchamiento del espectro debidos ala funcion g. Dicho de otro modo, si se trata de medir un espectro T(x) con un instrumento que presenta como funcion caracteristica de respuesta g(x-x’), C(x) representa los datos adquiridos. En el caso hipotetico e ideal de disponer un instrumento perfecto en resolucion, la funcion g(xx’) seria una funcion delta de Dirac, y los datos obtenidos C(x) representarian directamente el espectro T(x) sinnecesidad de la resolucion del problema de deconvolucion. Para el resto de los casos sera necesario la resolucion de la ecuacion integral (1), que resulta ser un ejemplo de una ecuacion integral de Fredholm de primera especie.

Podemos dividir los metodos de deconvolucion desarrollados en dos grandes grupos: Lineales y no lineales; los metodos lineales son aquellos donde los elementos de...